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Accueil › Méthodes › ECG 2ème année Maths Approfondies

Méthodes de mathématiques — ECG 2ème année Maths Approfondies

12 chapitres, 135 questions types et 229 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Compléments d'algèbre linéaire

Comment calculer la trace d'une matrice carrée et exploiter sa linéarité ?
Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?
Comment exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base à partir de ses coordonnées dans l'ancienne ?
- En appliquant la formule $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$
- En résolvant directement le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$
Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ?
- En appliquant la formule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1}\, \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\, P$
- En calculant directement les images $f(e'_j)$ et en lisant leurs coordonnées dans $\mathcal{B}'$
Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?
Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?
Comment construire une base adaptée à une somme directe $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ ?
- En choisissant une base de chaque $F_i$ et en concaténant ces bases
Comment calculer la dimension d'une somme directe de sous-espaces vectoriels ?
- En additionnant les dimensions : $\dim(F_1 \oplus \dots \oplus F_k) = \sum \dim F_i$
Comment exploiter l'invariance de la trace par similitude pour résoudre un exercice ?
- En utilisant $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(P^{-1}AP)$ pour calculer la trace via une matrice semblable plus simple
- En montrant par contraposée que deux matrices n'ayant pas la même trace ne sont pas semblables

Réduction des endomorphismes

Comment déterminer le spectre d'une matrice triangulaire ?
- En lisant directement les coefficients diagonaux de la matrice
Comment montrer qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre d'un endomorphisme ou d'une matrice ?
Comment déterminer un vecteur propre associé à une valeur propre donnée ?
- En résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n) X = 0$
- En résolvant l'équation $f(x) = \lambda x$ sur les coordonnées dans une base
Comment calculer le sous-espace propre $E_\lambda(f)$ et sa dimension ?
Comment utiliser un polynôme annulateur pour restreindre l'ensemble des valeurs propres possibles ?
- En restreignant le spectre aux racines d'un polynôme annulateur $Q$
- En testant chaque racine de $Q$ pour déterminer si elle est effectivement valeur propre
Comment obtenir un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice ?
Comment déduire des éléments propres de $Q(f)$ à partir des éléments propres de $f$ ?
- En propageant $f(x) = \lambda x$ à $Q(f)(x) = Q(\lambda) x$
- En appliquant matriciellement $A X = \lambda X \Rightarrow Q(A) X = Q(\lambda) X$
Comment montrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ?
- En citant directement le résultat du cours
- En menant une preuve par récurrence sur $k$
Comment montrer qu'un endomorphisme ou une matrice est diagonalisable ?
Comment diagonaliser explicitement une matrice (déterminer $P$ et $D$ avec $D = P^{-1} A P$ ) ?
- En calculant les valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre pour former $P$ et $D$
- En vérifiant a posteriori que $A P = P D$
Comment montrer qu'un endomorphisme n'est pas diagonalisable ?
Comment calculer les puissances $A^n$ d'une matrice diagonalisable ?

Espaces euclidiens

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire ?
Comment calculer la norme euclidienne d'un vecteur à partir du produit scalaire ?
Comment montrer que deux vecteurs ou deux sous-espaces sont orthogonaux ?
- En montrant $\langle x, y \rangle = 0$ par calcul direct
- En vérifiant l'orthogonalité sur une base de chaque sous-espace
Comment appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et identifier le cas d'égalité ?
- En écrivant $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|$ pour majorer un produit scalaire
- En identifiant le cas d'égalité par colinéarité
Comment montrer qu'une famille est orthogonale puis orthonormale ?
Comment prouver qu'une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre ?
- En écrivant $\sum_i \alpha_i e_i = 0$ puis en prenant le produit scalaire avec chaque $e_j$
Comment calculer les coordonnées et la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ?
- En utilisant $x = \sum_i \langle x,e_i\rangle e_i$ pour lire les coordonnées et $\|x\|^2 = \sum_i \langle x,e_i\rangle^2$
- En résolvant le système linéaire $X_{\mathcal{B}} = P\, X_{\mathcal{B}'}$ de matrice de passage
Comment exprimer matriciellement le produit scalaire et la norme en base orthonormée ?
- En utilisant $\langle x,y\rangle = {}^t\!XY$ en base orthonormée
- En utilisant $\|x\|^2 = {}^t\!XX$ en base orthonormée
Comment compléter une famille orthonormée en une base orthonormée d'un espace euclidien ?
- En complétant en base quelconque puis en orthonormalisant (Schmidt)
- En prenant une base orthonormée du supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$
Comment déterminer le supplémentaire orthogonal $F^{\perp}$ d'un sous-espace $F$ ?
- En résolvant le système $\langle x, f_i \rangle = 0$ sur une base de $F$
- En complétant une base orthonormée de $F$ en base orthonormée de $E$
Comment reconnaître qu'une matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale et exploiter $P^{-1} = {}^t\!P$ ?
- En invoquant que la matrice de passage entre bases orthonormées est orthogonale
Comment appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une norme ou établir une égalité ?

Fonctions de plusieurs variables

Comment tracer ou interpréter le graphe et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?
- En représentant la surface $z = f(x,y)$ et ses coupes à $x$ ou $y$ fixés
- En traçant les courbes de niveau $L_c = \{f = c\}$ pour plusieurs $c$
Comment écrire l'équation du graphe d'une fonction définie sur $\mathbb{R}^n$ ?
- En posant $\mathcal{G}_f = \{(x_1,\dots,x_n,f(x_1,\dots,x_n))\}$ d'équation $x_{n+1} = f(x_1,\dots,x_n)$
Comment montrer qu'une fonction de $n$ variables est continue sur $\mathbb{R}^n$ ?
- En écrivant $f$ comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues de référence
Comment calculer les fonctions partielles de $f$ en un point $x_0$ ?
- En fixant toutes les coordonnées sauf la $i$ -ème dans l'expression de $f$
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_i f(x)$ d'une fonction ?
- En dérivant l'expression de $f$ par rapport à $x_i$ en traitant les autres variables comme des constantes
- En revenant à la définition $\partial_i f(x_0) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(x_0 + t e_i) - f(x_0)}{t}$
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?
- En calculant successivement les $\partial_i f(x)$ puis en posant $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x))$
Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?
- En vérifiant que les dérivées partielles $\partial_i f$ existent toutes et sont continues sur $\mathbb{R}^n$
- En invoquant les opérations : somme, produit, quotient et composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sont de classe $\mathcal{C}^1$
Comment écrire le développement limité d'ordre 1 de $f$ en un point ?
- En appliquant $f(x+h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h \rangle + \|h\|\,\varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h)\to 0$
Comment calculer la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ quand $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ?
- En appliquant la règle de la chaîne $g'(t) = \langle \nabla f(x+th), h\rangle = \sum_i h_i\,\partial_i f(x+th)$
Comment déterminer les points critiques d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ ?
- En résolvant le système $\partial_1 f(x) = \cdots = \partial_n f(x) = 0$ sur l'ouvert de définition
Comment utiliser la condition nécessaire du premier ordre pour identifier les candidats à un extremum local ?
- En utilisant : si $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert admet un extremum local en $x_0$ , alors $\nabla f(x_0) = 0$

Variables aléatoires à densité

Comment vérifier qu'une fonction $f$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$ ?
- En vérifiant $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$
Comment montrer qu'une variable aléatoire $X$ est à densité à partir de sa fonction de répartition ?
- En vérifiant que $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points
Comment déterminer une densité de $X$ connaissant sa fonction de répartition $F_X$ ?
- En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ , puis en complétant aux points exceptionnels
Comment calculer $\mathbb{P}(X \in I)$ pour une variable à densité et un intervalle $I$ donné ?
- En utilisant $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t$
Comment déterminer la loi, la fonction de répartition et la densité de $aX + b$ avec $a \neq 0$ ?
- En revenant à $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)$ selon le signe de $a$ , puis en dérivant
Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?
- En revenant à la fonction de répartition de $\varphi(X)$ via $\varphi^{-1}$ , puis en dérivant
- En traitant $X^2$ via $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ pour $y \geq 0$ , puis en dérivant
Comment reconnaître et utiliser les lois usuelles $\mathcal{U}([a,b])$ , $\mathcal{E}(\lambda)$ , $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\gamma(\nu)$ ?
Comment exploiter la caractérisation de la loi exponentielle par l'absence de mémoire ?
- En appliquant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ pour reconnaître ou simplifier
Comment standardiser une variable normale en utilisant $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la table de $\Phi$ ?
- En centrant et réduisant : $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ puis en lisant $\Phi$ dans la table
Comment montrer qu'une variable à densité admet une espérance et la calculer ?
- En étudiant la convergence absolue de $\int t f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant l'intégrale
Comment justifier l'existence d'une espérance par domination ou absolue convergence ?
- En majorant $|t|f_X(t)$ par une fonction positive intégrable
- En découpant l'intégrale et en appliquant les critères classiques d'intégrabilité (Riemann, équivalents)
Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer $E(g(X))$ ?
- En vérifiant la convergence absolue de $\int g(t)f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis en calculant cette intégrale
Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable à densité ?
- En appliquant la formule de Koenig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
- En revenant à la définition $V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (t-E(X))^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$
Comment exploiter l'équivalence entre existence de $E(X^2)$ et existence de $E(X)$ et $V(X)$ ?
- En étudiant uniquement la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$

Couples et $n$ -uplets de variables aléatoires

Comment déterminer la loi d'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_n)$ à partir de sa fonction de répartition ?
- En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}(x_1,\dots,x_n)=P(X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n)$
Comment obtenir les lois marginales à partir de la loi d'un couple ou d'un $n$ -uplet ?
- En passant à la limite dans la fonction de répartition conjointe $F_{(X_1,\dots,X_n)}$
- En sommant la loi conjointe sur les autres variables dans le cas discret
Comment montrer que $n$ variables aléatoires sont mutuellement indépendantes ?
- En vérifiant $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod_{k=1}^{n} F_{X_k}$ sur $\mathbb{R}^n$
- En vérifiant $P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\prod_{k=1}^{n} P(X_k=x_k)$ dans le cas discret
Comment utiliser la caractérisation $F_{(X_1,\dots,X_n)}=\prod F_{X_k}$ pour prouver l'indépendance ?
- En calculant $F_{(X_1,\dots,X_n)}$ et les $F_{X_k}$ séparément puis en vérifiant la factorisation sur $\mathbb{R}^n$
Comment appliquer le lemme des coalitions pour obtenir une indépendance entre fonctions de variables ?
- En invoquant le lemme des coalitions sur une partition de $\{1,\dots,n\}$
Comment calculer l'espérance d'un produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ?
- En appliquant $E(XY)=E(X)E(Y)$ dès que $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?
- En appliquant $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ après avoir vérifié l'existence des espérances
Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?
- En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie
Comment calculer la variance d'une somme $V(X_1+\cdots+X_n)$ avec ou sans indépendance ?
- En appliquant $V(\sum X_k)=\sum V(X_k)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$ , qui se simplifie si les $X_k$ sont deux à deux indépendantes
Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X,Y)$ et l'interpréter dans le cas $|\rho|=1$ ?
- En calculant $\rho(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma(X)\sigma(Y))$ et en concluant à une relation affine si $|\rho|=1$
Comment déterminer la densité de $Z = X+Y$ pour deux variables à densité indépendantes via le produit de convolution ?
- En appliquant la formule $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\,f_Y(z-t)\,\mathrm{d}t$ après justification
Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?
- En utilisant la stabilité additive $X \sim \gamma(\nu_1)$ , $Y \sim \gamma(\nu_2)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)$
- En utilisant la stabilité affine $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$ indépendantes $\Rightarrow aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$
Comment étudier la loi de la somme de $n$ variables indépendantes de loi $\mathcal{E}(\lambda)$ ?
- En se ramenant à $\lambda S_n \sim \gamma(n)$ par stabilité, puis en revenant à $S_n$ par changement d'échelle
- En démontrant par récurrence sur $n$ via le produit de convolution

Endomorphismes symétriques et projection orthogonale

Comment montrer qu'un endomorphisme $f$ est symétrique via $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ ?
- En vérifiant $\langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$ pour tous vecteurs $x,y$ de $E$
Comment reconnaître un endomorphisme symétrique à partir de sa matrice en base orthonormée ?
- En écrivant la matrice de $f$ dans une base orthonormée et en vérifiant ${}^t A = A$
Comment montrer que si $F$ est stable par un endomorphisme symétrique, alors $F^{\perp}$ l'est aussi ?
- En prenant $y\in F^\perp$ et $x\in F$ puis en utilisant $\langle x,f(y)\rangle=\langle f(x),y\rangle$
Comment prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux ?
- En exploitant $(\lambda-\mu)\langle x,y\rangle = 0$ pour $x\in E_\lambda$ , $y\in E_\mu$
Comment diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique réelle (trouver $P$ orthogonale et $D$ diagonale) ?
- En calculant les valeurs propres puis une base orthonormée de chaque sous-espace propre
Comment calculer la projection orthogonale $p_F(x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_1,\dots,u_k)$ de $F$ ?
- En appliquant la formule $p_F(x)=\sum_{i=1}^k \langle x,u_i\rangle u_i$ avec une base orthonormée de $F$
- En décomposant $x=v+w$ avec $v\in F$ , $w\in F^{\perp}$ et en identifiant $v=p_F(x)$
Comment caractériser $p_F(x)$ comme le vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x-u\|$ ?
- En écrivant $\|x-u\|^2=\|x-p_F(x)\|^2+\|p_F(x)-u\|^2$ par Pythagore et en concluant
Comment reconnaître un projecteur orthogonal à l'aide du critère projecteur et endomorphisme symétrique ?
- En vérifiant que $p\circ p=p$ puis que $p$ est symétrique dans une base orthonormée
Comment résoudre un problème de moindres carrés $\min \|AX-B\|$ par projection orthogonale ?
- En identifiant $F=\mathrm{Im}(A)$ , en écrivant l'équation normale ${}^t\!AAX^*={}^t\!AB$ et en la résolvant

Optimisation d'ordre 2

Comment justifier qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ ?
Comment calculer la matrice hessienne $\nabla^2 f(x)$ d'une fonction $\mathcal{C}^2$ ?
- En calculant les $\partial_i f$ puis les $\partial^2_{ij} f$ et en plaçant $\partial^2_{ij} f(x)$ ligne $i$ colonne $j$
Comment appliquer le théorème de Schwarz pour obtenir la symétrie de la hessienne ?
- En vérifiant que $f$ est $\mathcal{C}^2$ puis en appliquant $\partial^2_{ij} f = \partial^2_{ji} f$ (admis), d'où ${}^t \nabla^2 f = \nabla^2 f$
Comment écrire la fonction quadratique $q(h) = {}^t H A H$ associée à une matrice symétrique $A$ ?
- En développant ${}^t H A H = \sum_{i,j} a_{ij} h_i h_j$
- En diagonalisant $A$ orthogonalement : dans la base des vecteurs propres, $q(h) = \sum_i \lambda_i (h'_i)^2$
Comment écrire le développement limité d'ordre 2 de $f$ en un point critique ?
- En utilisant $\nabla f(x_0) = 0$ dans $f(x_0+h) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle + \frac{1}{2} q_{x_0}(h) + o(\|h\|^2)$
Comment étudier le signe d'une fonction quadratique à l'aide du spectre de sa matrice symétrique ?
- En diagonalisant $A$ et en lisant le signe des valeurs propres
- En évaluant $q$ sur des vecteurs propres : $q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|^2$
Comment classer un point critique (minimum local, maximum local, point selle) à l'aide du spectre de la hessienne ?
- En calculant $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x_0))$ et en appliquant le critère spectral
- En étudiant directement le signe de $f(x_0+h) - f(x_0)$ via le DL d'ordre 2 dans les cas limites
Comment démontrer qu'une fonction admet un extremum global sur un ouvert convexe via le signe du spectre de $\nabla^2 f$ ?
- En vérifiant $\Omega$ ouvert convexe et $\mathrm{Sp}(\nabla^2 f(x))\subset \mathbb{R}_+$ (resp. $\mathbb{R}_-$ ) en tout point
Comment justifier l'existence d'un extremum global d'une fonction continue sur un fermé borné ?
- En vérifiant la continuité de $f$ et que $K$ est fermé borné, puis en invoquant le théorème
Comment mener une recherche complète d'extrema locaux et globaux d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ ?
- En déterminant domaine, points critiques, nature locale via la hessienne, puis caractère global

Optimisation sous contraintes linéaires

Comment écrire l'ensemble des contraintes $\mathcal{C}$ défini par un système d'égalités linéaires ?
- En posant $\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) = b_1, \dots, g_p(x) = b_p\}$ avec $g_i$ linéaires
- En remarquant que $\mathcal{C} = x^* + H$ avec $x^*$ solution particulière et $H$ espace des solutions homogènes
Comment identifier l'espace vectoriel $H$ des solutions du système homogène associé ?
- En résolvant le système homogène pour obtenir une description paramétrique puis une base de $H$
- En écrivant $H = \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)^\perp$
Comment calculer les gradients $\nabla g_i(x_0)$ des fonctions définissant les contraintes ?
- En dérivant $g_i(x) = \sum_k \alpha_{i,k} x_k$ pour lire $\nabla g_i = (\alpha_{i,1},\dots,\alpha_{i,n})$
Comment appliquer la condition nécessaire $\nabla f(x_0) \in \mathrm{Vect}(\nabla g_1,\dots,\nabla g_p)$ pour trouver les points critiques sous contrainte ?
- En écrivant $\nabla f(x_0)$ comme combinaison linéaire des $\nabla g_i$
- En traduisant $\nabla f(x_0) \perp H$ via $\langle \nabla f(x_0), h \rangle = 0$ pour tout $h$ d'une base de $H$
Comment introduire les multiplicateurs de Lagrange $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ et résoudre le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ ?
- En posant le système $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ couplé aux $p$ contraintes
Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction sous contrainte d'égalités linéaires dans des cas simples ?

Convergences en probabilité et en loi

Comment appliquer l'inégalité de Markov pour majorer $P(|X| \geq a)$ ?
- En vérifiant que $E(|X|)$ existe puis en écrivant $P(|X| \geq a) \leq E(|X|)/a$
- En se ramenant à $Y = g(X)$ avec $g$ croissante positive : $P(|X| \geq a) \leq E(g(|X|))/g(a)$
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?
- En vérifiant que $V(X)$ existe puis en écrivant $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq V(X)/\varepsilon^2$
- En l'appliquant à $\overline{X}_n$ i.i.d. : $P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \sigma^2/(n \varepsilon^2)$
Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ ?
- En revenant à la définition : $\forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \to 0$
- En majorant par Bienaymé-Tchebychev : si $E(X_n) \to \ell$ et $V(X_n) \to 0$ , alors $X_n \xrightarrow{P} \ell$
Comment appliquer la loi faible des grands nombres à une suite de variables i.i.d. ?
- En vérifiant i.i.d., espérance $m$ et variance $\sigma^2$ finies, puis $\overline{X}_n \xrightarrow{P} m$
Comment exploiter la composition par une fonction continue pour la convergence en probabilité ?
- En appliquant le théorème admis : $X_n \xrightarrow{P} X$ et $f$ continue $\Rightarrow f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)$
Comment exploiter la somme pour la convergence en probabilité ?
- En appliquant $X_n \xrightarrow{P} X$ , $Y_n \xrightarrow{P} Y \Rightarrow X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y$
Comment montrer qu'une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ à partir des fonctions de répartition ?
- En revenant à la définition : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ de continuité de $F_X$
- En exploitant les passages à la limite classiques (équivalents, DL, $(1-\lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$ )
Comment caractériser la convergence en loi pour des variables à valeurs dans $\mathbb{N}$ via $P(X_n=k) \to P(X=k)$ ?
- En appliquant la caractérisation du cours : $X_n, X \in \mathbb{N} \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$ ssi $\forall k, P(X_n=k) \to P(X=k)$
- En l'utilisant pour l'approximation Binomiale-Poisson : $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ , $np_n \to \lambda$ , alors $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)$
Comment appliquer le théorème limite central pour approcher la loi d'une somme de variables i.i.d. ?
- En vérifiant i.i.d., $E(X) = m$ , $V(X) = \sigma^2 > 0$ , puis $X_n^* = (S_n - nm)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$
- En standardisant $P(a \leq S_n \leq b) = P((a-nm)/(\sigma\sqrt n) \leq X_n^* \leq (b-nm)/(\sigma\sqrt n)) \approx \Phi(\cdot) - \Phi(\cdot)$
Comment justifier l'approximation de la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ par la loi normale ?
- En écrivant $\mathcal{B}(n,p)$ comme somme de $n$ Bernoulli i.i.d. et en appliquant le TLC
Comment justifier l'approximation de la loi de Poisson par la loi normale ?
- En décomposant $\mathcal{P}(\lambda)$ (entier) comme somme de $\lambda$ lois $\mathcal{P}(1)$ indépendantes et en appliquant le TLC

Estimation statistique

Comment définir et reconnaître un $n$ -échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ associé à une variable $X$ ?
- En vérifiant que les $X_i$ sont mutuellement indépendantes et toutes de même loi que $X$
- En identifiant l'échantillon-type associé à une loi usuelle
Comment construire un estimateur $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ d'un paramètre $g(\theta)$ ?
- En choisissant une statistique naturelle : moyenne empirique, fréquence, variance empirique
- En appliquant la méthode des moments $g(\theta) = h(E_\theta(X))$ avec $T_n = h(\overline{X}_n)$
Comment calculer l'estimation $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ obtenue à partir d'un échantillon observé ?
- En substituant la réalisation observée $(x_1, \dots, x_n)$ dans la fonction $\varphi$
Comment montrer qu'un estimateur est sans biais en vérifiant $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ ?
- En calculant $E_\theta(T_n)$ par linéarité et en utilisant $E_\theta(X_i) = E_\theta(X)$
- En exhibant le biais $b(\theta) = E_\theta(T_n) - g(\theta)$ puis en corrigeant par un facteur multiplicatif
Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne empirique $\overline{X}_n$ et de la variance empirique ?
- En utilisant la linéarité de l'espérance et l'indépendance pour obtenir $E(\overline{X}_n) = m$ et $V(\overline{X}_n) = \sigma^2/n$
- En développant $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum X_i^2 - \overline{X}_n^2$ pour calculer son espérance et identifier son biais
Comment montrer qu'une suite d'estimateurs est convergente via la condition suffisante $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ ?
- En vérifiant que $T_n$ est sans biais et que $V(T_n)\to 0$ pour appliquer Bienaymé-Tchebychev
- En combinant $E(T_n)\to g(\theta)$ et $V(T_n)\to 0$ pour un estimateur asymptotiquement sans biais
Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?
- En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)$
- En appliquant l'inégalité de Markov à $(T_n - g(\theta))^2$ pour contrôler un estimateur biaisé
Comment construire un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau $1-\alpha$ à l'aide de Bienaymé-Tchebychev ?
Comment construire un intervalle de confiance du paramètre $p$ d'une loi de Bernoulli ?
- En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne empirique et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$
- En utilisant l'approximation normale de la loi binomiale via le TLC et en majorant $p(1-p)$ par $1/4$
Comment construire un intervalle de confiance de la moyenne d'une loi normale d'écart-type connu ?
- En utilisant que $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et les quantiles $u_{1-\alpha/2}$
- En appliquant Bienaymé-Tchebychev comme borne plus grossière indépendante de la normalité
Comment construire un intervalle de confiance asymptotique au niveau $1-\alpha$ à l'aide du TLC ?
- En identifiant $(T_n - g(\theta))/\sigma_n(\theta) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ puis en inversant l'encadrement gaussien
Comment comparer deux estimateurs ou deux intervalles de confiance ?
- En comparant biais et variance de deux estimateurs ponctuels du même paramètre
- En comparant les demi-largeurs de deux intervalles de confiance au même niveau $1-\alpha$

Informatique Python

Comment représenter un nuage de points et le point moyen d'une série statistique bivariée avec matplotlib ?
- En utilisant plt.scatter(x, y) puis en superposant le point moyen $(\bar x,\bar y)$ calculé avec np.mean
Comment calculer la covariance et le coefficient de corrélation empiriques d'une série double avec numpy ?
- En calculant np.cov(x, y, ddof=0)[0,1] et np.corrcoef(x, y)[0,1], puis en vérifiant à la main
Comment tracer les droites de régression d'une série bivariée et effectuer une pré-transformation linéarisante ?
- En ajustant a, b = np.polyfit(x, y, 1) puis plt.plot(x, a*x + b), avec linéarisation préalable si nécessaire
Comment représenter le graphe 3D et les lignes de niveau d'une fonction de deux variables ?
- En générant un np.meshgrid puis en appelant ax.plot_surface(X, Y, Z) et plt.contour(X, Y, Z)
Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ?
- En traçant la surface, le plan tangent via plot_surface et en superposant plt.quiver aux courbes de niveau
Comment illustrer graphiquement la recherche d'extrema locaux ou globaux, avec ou sans contrainte linéaire ?
- En marquant les points critiques sur plt.contour, puis en évaluant $f$ le long d'une contrainte linéaire tracée avec plt.plot
Comment simuler une variable aléatoire par la méthode d'inversion à partir de la fonction de répartition ?
- En calculant explicitement $F^{-1}$ puis en saisissant X = F_inv(rd.random()) pour obtenir une réalisation de $X$
Comment simuler une loi géométrique à l'aide d'une boucle while et d'une loi de Bernoulli ?
- En comptant dans une boucle while rd.random() >= p le rang du premier succès d'une suite de Bernoulli indépendantes
Comment simuler une loi géométrique à partir d'une loi exponentielle et de la fonction floor ?
- En simulant $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = -\ln(1-p)$ puis en renvoyant int(np.floor(Y)) + 1
Comment simuler une loi normale à partir du TLC appliqué à 12 lois uniformes indépendantes ?
- En calculant U = rd.random(12); X = np.sum(U) - 6 pour obtenir $X \approx \mathcal{N}(0,1)$
Comment utiliser la librairie numpy.random pour simuler les lois usuelles et comparer différentes méthodes ?
- En appelant directement rd.binomial, rd.geometric, rd.poisson, rd.exponential, rd.normal ou rd.randn
Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?
Comment illustrer la convergence en probabilité ou en loi via des simulations répétées ?
Comment mettre en œuvre la méthode de Monte-Carlo pour estimer une probabilité, une espérance ou une intégrale ?
Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?
- En estimant le biais et la variance de chaque estimateur sur $M$ jeux de données simulés
- En estimant la demi-largeur moyenne et le niveau effectif de couverture de chaque intervalle de confiance

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Appliquées