Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?

En inversant la matrice de passage dans l'autre sens

Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ lorsque $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est déjà connue (ou plus facile à écrire).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ , on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

L'objectif

Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ lorsque $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est déjà connue (ou plus facile à écrire).

Le principe

Toute matrice de passage est inversible et $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}$ .

La méthode

1
J'identifie laquelle des deux matrices de passage est la plus simple à construire par coordonnées et je l'écris en premier.
2
Je calcule son inverse (par le pivot de Gauss, par la comatrice en dimension $2$ , ou en résolvant $P X = Y$ ).
3
Je conclus que l'inverse obtenue est $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}$ .

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

Étape 1 —

J'identifie laquelle des deux matrices de passage est la plus simple à construire par coordonnées et je l'écris en premier.

La matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est donnée ; je cherche son inverse.

Étape 2 —

Je calcule son inverse (par le pivot de Gauss, par la comatrice en dimension

2

, ou en résolvant

P X = Y

Son déterminant vaut $-2 \neq 0$ , donc inversible ; $P^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je conclus que l'inverse obtenue est

P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}

Je conclus : $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

$P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ , on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ avec $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ et $\mathcal{B}' = (1, X-1, (X-1)^2)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

Application autonome 1

Dans $\mathbb{R}^3$ muni de la base canonique $\mathcal{B}$ , on a $\mathcal{B}' = (e_1, e_1 + e_2, e_1 + e_2 + e_3)$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

Application autonome 2

Soient $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ et $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ deux bases de $\mathbb{R}^2$ . Déterminer la matrice de passage $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ sachant que $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}^3$ , on donne $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

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