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Accueil › Méthodes › ECG 1ère année Maths Appliquées

Méthodes de mathématiques — ECG 1ère année Maths Appliquées

14 chapitres, 95 questions types et 139 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Comment démontrer une implication $H \Rightarrow P$ ?
- En supposant $H$ vraie et en déduisant $P$ par enchaînement logique
Comment démontrer une équivalence ?
- En prouvant séparément les deux implications directes et réciproques
- En raisonnant par équivalences successives (chaîne de $\iff$ )
Comment formuler la négation d'une proposition ?
- En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan
Comment démontrer une proposition par contraposée ou par l'absurde ?
- En raisonnant par contraposée (prouver $\neg P \Rightarrow \neg H$ )
- En raisonnant par l'absurde (supposer le contraire et exhiber une contradiction)
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?
- En menant une récurrence simple (initialisation + hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ )
- En menant une récurrence forte ou à deux pas lorsque $P(n+1)$ dépend de plusieurs rangs antérieurs
Comment infirmer une proposition universelle ?
- En exhibant un contre-exemple qui viole la proposition
Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?
- En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$
- En démontrant la double inclusion $A\subset B$ et $B\subset A$ pour obtenir $A=B$
Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?
- En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique ( $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum q^k$ )
- En effectuant un changement d'indice ou une disjonction des indices

Calcul matriciel et systèmes linéaires

Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?
- En effectuant une suite d'opérations élémentaires $L_i\leftrightarrow L_j$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser, puis en remontant
Comment décrire l'ensemble des solutions d'un système linéaire ?
- En identifiant le rang après pivot pour classer l'ensemble des solutions (vide, singleton, paramétrée)
Comment effectuer un produit matriciel et calculer la transposée ?
- En calculant $(AB)_{ij}$ comme produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$
- En transposant pour échanger lignes et colonnes, puis en reconnaissant la symétrie par $A={}^t\!A$
Comment calculer les puissances $n$ -èmes d'une matrice carrée ?
Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?
Comment calculer le déterminant d'une matrice $2\times 2$ et en déduire son inversibilité ?
- En appliquant $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ puis en concluant $A$ inversible $\iff \det(A)\neq 0$
Comment écrire un système sous forme matricielle $AX=Y$ et le résoudre ?
- En identifiant la matrice $A$ , le vecteur colonne $X$ des inconnues et le second membre $Y$ , puis en résolvant par pivot ou via $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible

Théorie des graphes

Comment construire la matrice d'adjacence d'un graphe (orienté ou non) ?
- En numérotant les sommets et en plaçant $1$ lorsqu'une arête (ou un arc) existe, $0$ sinon
Comment compter les chemins de longueur $d$ à l'aide de la matrice d'adjacence ?
- En calculant $A^d$ et en lisant le coefficient $(i,j)$ comme nombre de chemins de longueur $d$ de $i$ vers $j$
Comment déterminer si un graphe orienté est connexe à partir de sa matrice d'adjacence ?
- En calculant $I_n + A + A^2 + \dots + A^{n-1}$ et en vérifiant que tous ses coefficients sont strictement positifs
Comment utiliser la formule d'Euler (des poignées de main) pour relier degrés et arêtes ?
- En additionnant tous les degrés des sommets et en divisant par $2$ pour obtenir le nombre d'arêtes d'un graphe non orienté

Suites de nombres réels

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite arithmétique, géométrique ou arithmético-géométrique ?
- En appliquant les formules $u_n = u_0 + nr$ (arithmétique) ou $u_n = u_0 q^n$ (géométrique)
- En se ramenant à une suite géométrique via la recherche du point fixe pour une suite arithmético-géométrique
Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?
- En résolvant l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)
Comment calculer une somme portant sur une suite arithmétique ou géométrique ?
- En appliquant la formule $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (si $q\neq 1$ ) ou la somme arithmétique $\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?
- En exhibant une constante $M$ et en la démontrant par récurrence
- En encadrant $u_n$ à l'aide d'une suite de référence connue
Comment montrer qu'une suite converge et déterminer sa limite ?
Comment montrer qu'une suite diverge vers $\pm\infty$ ?
- En minorant (ou majorant) la suite par une suite divergente connue
- En invoquant qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ?
Comment utiliser le théorème des suites adjacentes ?
- En vérifiant qu'une suite est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers $0$
Comment comparer des suites à l'aide des croissances comparées ?
- En appliquant la hiérarchie $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n$ (avec $a>0$ et $q>1$ ) pour lever les formes indéterminées

Fonctions d'une variable réelle

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?
- En identifiant les contraintes des fonctions usuelles (dénominateur non nul, argument positif pour $\sqrt{\cdot}$ , strictement positif pour $\ln$ ) et en prenant leur intersection
Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ?
- En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et en factorisant lorsque $\Delta \geq 0$
- En utilisant les relations coefficients/racines ou en repérant une racine évidente
Comment factoriser un polynôme connaissant l'une de ses racines ?
- En effectuant la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-a)$
Comment étudier la parité et les symétries d'une fonction ?
- En testant $f(-x)$ pour identifier parité ( $f(-x)=f(x)$ ) ou imparité ( $f(-x)=-f(x)$ ) et en déduire la symétrie du graphe
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?
- En composant, sommant ou multipliant des fonctions continues usuelles
- En vérifiant la définition $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ ou en prolongeant $f$ par continuité
Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une (unique) solution sur un intervalle ?
- En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (continuité sur un segment + changement de signe)
- En renforçant par la stricte monotonie de $f$ pour obtenir l'unicité
Comment utiliser le théorème de la bijection pour définir une réciproque ?
- En vérifiant que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ pour conclure que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?
- En appliquant $\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)^b}{x^a}=0$ , $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^a}{e^{bx}}=0$ ( $b>0$ ) et $\lim_{x\to 0^+}x^a|\ln x|^b=0$ ( $a>0$ )
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?
- En étudiant le signe de $f'$ sur le domaine et en reportant variations, limites aux bornes et valeurs remarquables

Statistiques descriptives univariées

Comment calculer les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) d'une série statistique ?
- En appliquant la formule de la moyenne pondérée par les effectifs ou fréquences : $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i n_i x_i$
- En ordonnant les données et en lisant la médiane (valeur centrale, ou moyenne des deux valeurs centrales)
Comment calculer les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) ?
- En appliquant la formule de Koenig $s_x^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ , puis $s_x = \sqrt{s_x^2}$
- En calculant $Q_3$ pour l'écart interquartile et $\max - \min$ pour l'étendue
Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ?
- En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles $Q_1$ , médiane, $Q_3$
Comment comparer deux séries statistiques à l'aide de leurs résumés ?
- En opposant les résumés numériques (moyenne, médiane, écart-type, interquartile) et en superposant les boîtes à moustaches

Dénombrement et probabilités sur un univers fini

Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?
- En appliquant $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ ou la relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$
- En exploitant la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour simplifier le calcul
Comment dénombrer à l'aide de factorielles, arrangements et coefficients binomiaux ?
- En identifiant la nature du tirage (avec/sans ordre, avec/sans répétition) pour choisir la formule adéquate
Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?
- En vérifiant que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et que $\bigcup A_i = \Omega$
Comment calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité ?
- En appliquant $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}$ après dénombrement précis de $A$ et de $\Omega$
Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?
- En appliquant $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)>0$
- En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$
Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
- En décomposant $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)$ via un système complet d'événements $(A_i)$ adapté
Comment utiliser la formule de Bayes ?
- En renversant le conditionnement par $P_B(A_i) = \frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$ , avec $P(B)$ obtenu par probabilités totales
Comment montrer que des événements sont (mutuellement) indépendants ?
- En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ pour l'indépendance de deux événements
- En vérifiant $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})$ pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle

Espace $\mathbb{R}^n$ , sous-espaces vectoriels et applications linéaires

Comment montrer qu'une partie $F$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace vectoriel ?
- En vérifiant que $0\in F$ et la stabilité par combinaisons linéaires ( $\forall u,v\in F, \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda u+\mu v\in F$ )
- En écrivant $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ou $F=\mathrm{Ker}(A)$ (ensemble des solutions d'un système homogène)
Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?
- En décomposant un vecteur générique de $F$ comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs
- En éliminant les vecteurs redondants par pivot de Gauss pour extraire une base
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?
- En résolvant l'équation $\lambda_1 u_1+\dots+\lambda_p u_p=0$ et en concluant que tous les $\lambda_i$ sont nuls
Comment calculer le rang d'une famille de vecteurs ou d'une matrice ?
- En appliquant le pivot de Gauss pour dénombrer les pivots non nuls
- En utilisant $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t\!A)$ lorsque cela facilite le calcul
Comment déterminer le noyau d'une matrice ?
- En résolvant le système homogène $AX=0$ par pivot et en exprimant $\mathrm{Ker}(A)$ comme $\mathrm{Vect}$ des vecteurs paramètres
Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?
- En prenant le $\mathrm{Vect}$ des colonnes de la matrice associée et en extrayant une base par pivot
Comment appliquer le théorème du rang ?
- En appliquant $\dim\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{rg}(f)=n$ pour déduire l'une des deux dimensions à partir de l'autre

Dérivation et convexité

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?
- En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$
- En invoquant la dérivabilité des fonctions usuelles et les opérations (somme, produit, quotient, composition)
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?
- En appliquant les règles (linéarité, produit $uv$ , quotient $u/v$ , composition $(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u$ ) et les dérivées de référence
Comment déterminer l'équation de la tangente au graphe d'une fonction en un point ?
- En écrivant $y=f(a)+f'(a)(x-a)$
Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?
- En factorisant $f'(x)$ pour étudier son signe sur le domaine et en dressant le tableau de variations
Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction dérivable ?
- En résolvant $f'(x)=0$ et en analysant un changement de signe de $f'$ en ce point (extremum local si changement de signe)
Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?
- En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ à partir d'un contrôle $|f'|\leq k$ sur l'intervalle
- En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)
Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ?
- En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1 $y'+ay=b(t)$ ?
- En écrivant la solution générale comme somme de la solution générale de l'équation homogène ( $Ce^{-at}$ ) et d'une solution particulière de l'équation complète
Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène $y''+ay'+by=0$ (racines réelles) ?
- En formant l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ et en écrivant la solution $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ (racines simples) ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ (racine double)
Comment résoudre une équation d'ordre 2 avec second membre via le principe de superposition ?
- En décomposant le second membre $c(t)=c_1(t)+c_2(t)$ et en sommant deux solutions particulières correspondantes
Comment déterminer la trajectoire vérifiant des conditions initiales ?
- En remplaçant les conditions initiales $y(t_0)=y_0$ (et $y'(t_0)=y_1$ pour l'ordre 2) dans la solution générale pour fixer les constantes
Comment identifier un équilibre d'une équation différentielle et discuter sa stabilité ?
- En cherchant les solutions constantes ( $y'=0$ ) et en observant si les trajectoires voisines convergent vers cet équilibre quand $t\to +\infty$

Intégration sur un segment

Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?
- En reconnaissant une primitive usuelle ou un schéma $u'(x)[u(x)]^\alpha$ (avec $\alpha\neq -1$ ) ou $u'(x)/u(x)$
Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?
- En posant $u$ et $v'$ pour obtenir $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ avec un intégrande plus simple
Comment calculer une intégrale par changement de variable ?
- En posant $u=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone et en substituant $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ (et les bornes)
Comment majorer ou minorer une intégrale ?
- En intégrant une inégalité $f(t)\leq g(t)$ sur le segment $[a,b]$ pour obtenir $\int_a^b f\leq\int_a^b g$
- En utilisant l'inégalité triangulaire $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ (pour $a\leq b$ )
Comment étudier une suite ou une fonction définie par une intégrale ?
- En dérivant $F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ ou en comparant $I_n=\int_a^b f_n$ par monotonie et majoration pour étudier sa convergence

Séries numériques

Comment montrer qu'une série converge à partir de la suite de ses sommes partielles ?
- En calculant explicitement $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand $n\to+\infty$
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?
- En prouvant la convergence de $\sum |u_n|$ (série à termes positifs) pour conclure à la convergence de $\sum u_n$
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?
- En appliquant directement les sommes connues : $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}$ , $\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$ pour $|q|<1$ , et $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$
Comment étudier la convergence d'une suite à l'aide de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ ?
- En observant que $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)

Espaces probabilisés et variables aléatoires discrètes

Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?
- En listant $X(\Omega)$ et en calculant chaque $P(X=x)$ via un SCE ou un dénombrement
- En vérifiant que $P(X=x)\geq 0$ pour tout $x$ et que $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1$
Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?
- En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?
- En identifiant le schéma de modélisation (succès/échec $\to$ Bernoulli ; $n$ répétitions indépendantes $\to$ binomiale ; rang du premier succès $\to$ géométrique ; nombre d'événements rares $\to$ Poisson ; équiprobabilité sur $[\![a,b]\!]$ $\to$ uniforme) pour invoquer la loi et ses paramètres
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
- En appliquant $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ (en vérifiant la convergence absolue si $X(\Omega)$ est infini)
- En utilisant les espérances connues des lois usuelles ( $E(\mathcal{B}(n,p))=np$ , $E(\mathcal{G}(p))=1/p$ , $E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda$ , etc.)
Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?
- En appliquant la formule de Koenig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
- En utilisant la stabilité $V(aX+b)=a^2V(X)$ ou les variances des lois usuelles
Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer $E(g(X))$ ?
- En calculant $X(\Omega)$ (convergence absolue requise si $X(\Omega)$ infini)
Comment appliquer la formule des probabilités totales sur un SCE dénombrable ?
- En généralisant la formule du cas fini à une famille dénombrable $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ : $P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)$ (convergence admise)

Algorithmique et Python

Comment rechercher un élément, un maximum, ou deux valeurs proches dans une liste Python ?
- En parcourant la liste par une boucle for avec comparaison au courant pour la recherche séquentielle ou du maximum
- En imbriquant deux boucles pour rechercher les deux valeurs les plus proches (en minimisant $|x_i-x_j|$ )
Comment implémenter une recherche dichotomique dans une liste triée ?
- En maintenant deux indices gauche et droite, en comparant l'élément médian, et en divisant l'intervalle par deux à chaque itération
Comment implémenter un algorithme glouton simple (rendu de monnaie, allocation de salles) ?
- En triant les candidats selon un critère local (ordre décroissant des pièces, ordre croissant des fins) puis en les sélectionnant un à un tant que la contrainte est satisfaite
Comment calculer les indicateurs statistiques d'un échantillon en Python ?
- En appliquant np.mean, np.std, np.median, np.var sur un tableau numpy
- En chargeant un fichier csv via pandas.read_csv puis en utilisant describe, head, shape, sort_values sur le DataFrame
Comment approcher numériquement la racine d'une équation $f(x)=0$ en Python ?
- En implémentant une dichotomie : $a,b$ avec $f(a)f(b)<0$ , itérer jusqu'à précision $\varepsilon$
- En itérant une suite récurrente $u_{n+1}=g(u_n)$ convergente jusqu'à stabilisation à $\varepsilon$ près
Comment représenter et parcourir un graphe en Python ?
- En utilisant une matrice d'adjacence (tableau numpy 2D) pour un accès $O(1)$ au poids d'une arête
- En utilisant un dictionnaire de listes d'adjacence pour parcourir les voisins d'un sommet
Comment implémenter l'algorithme de Dijkstra pour les plus courts chemins ?
- En maintenant un tableau des distances, en sélectionnant à chaque étape le sommet non visité de distance minimale, puis en relâchant ses voisins
Comment simuler une loi usuelle en Python et estimer ses caractéristiques ?
- En utilisant les fonctions numpy.random.binomial, geometric, poisson, randint pour générer un échantillon, puis np.mean et np.var pour estimer $E$ et $V$ empiriquement

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées