En exhibant un contre-exemple qui viole la proposition

Réfuter une proposition universelle $\forall x \in E, P(x)$ en trouvant un élément de $E$ qui ne vérifie pas $P$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Infirmer la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \;x^2 > x$ ».

L'objectif

Réfuter une proposition universelle $\forall x \in E, P(x)$ en trouvant un élément de $E$ qui ne vérifie pas $P$ .

Le principe

La négation de $\forall x \in E, P(x)$ est $\exists x \in E, \neg P(x)$ : il suffit donc d'exhiber un seul $x_0 \in E$ tel que $\neg P(x_0)$ pour montrer que la proposition universelle est fausse.

La méthode

1
Je formule la négation de la proposition : $\exists x \in E, \neg P(x)$ , et je cherche un candidat $x_0 \in E$ susceptible de violer $P$ .
Comment formuler la négation d'une proposition ?Voir
2
Je vérifie par calcul direct que $x_0 \in E$ et que $\neg P(x_0)$ est vraie (c'est-à-dire que $P(x_0)$ est fausse).
3
Je conclus : ce contre-exemple suffit à réfuter la proposition $\forall x \in E, P(x)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Infirmer la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \;x^2 > x$ ».

Étape 1 —

Je formule la négation de la proposition :

\exists x \in E, \neg P(x)

, et je cherche un candidat

x_0 \in E

susceptible de violer

P

Je cherche un réel $x_0$ pour lequel $x_0^2 \leq x_0$ . Je pense à $x_0 = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je vérifie par calcul direct que

x_0 \in E

et que

\neg P(x_0)

est vraie (c'est-à-dire que

P(x_0)

est fausse).

Je calcule : $x_0^2 = \frac{1}{4}$ et $x_0 = \frac{1}{2}$ . On a $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ , donc $x_0^2 < x_0$ , ce qui nie strictement $x_0^2 > x_0$ .

Étape 3 —

Je conclus : ce contre-exemple suffit à réfuter la proposition

\forall x \in E, P(x)

Le contre-exemple $x_0 = \frac{1}{2}$ suffit : la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 > x$ » est fausse.

Contre-exemple : $x_0 = \frac{1}{2}$ .

Application guidée

Infirmer la proposition « $\forall n \in \mathbb{N}, ;n^2 - n + 41 ;\mathrm{est} ;\mathrm{premier} $ ».

Application autonome 1

Infirmer la proposition « $\forall x, y \in \mathbb{R}, \;(x + y)^2 = x^2 + y^2$ ».

Application autonome 2

Infirmer la proposition « pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ , $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ ».

Application autonome 3

Infirmer la proposition « toute suite bornée est convergente ».

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