Comment infirmer une proposition universelle ?

En exhibant un contre-exemple qui viole la proposition

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Infirmer la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \;x^2 > x$ ».

La méthode

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Je formule la négation de la proposition : $\exists x \in E, \neg P(x)$ , et je cherche un candidat $x_0 \in E$ susceptible de violer $P$ .
Comment formuler la négation d'une proposition ?Voir
2
Je vérifie par calcul direct que $x_0 \in E$ et que $\neg P(x_0)$ est vraie (c'est-à-dire que $P(x_0)$ est fausse).
3
Je conclus : ce contre-exemple suffit à réfuter la proposition $\forall x \in E, P(x)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Infirmer la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \;x^2 > x$ ».

1

Je cherche un réel $x_0$ pour lequel $x_0^2 \leq x_0$ . Je pense à $x_0 = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ .

2

Je calcule : $x_0^2 = \frac{1}{4}$ et $x_0 = \frac{1}{2}$ . On a $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ , donc $x_0^2 < x_0$ , ce qui nie strictement $x_0^2 > x_0$ .

3

Le contre-exemple $x_0 = \frac{1}{2}$ suffit : la proposition « $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 > x$ » est fausse.

Contre-exemple : $x_0 = \frac{1}{2}$ .

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