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Accueil › Méthodes › Troisième

Méthodes de mathématiques — Troisième

14 chapitres, 69 questions types et 79 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Puissances et notation scientifique

Comment calculer une puissance d'exposant négatif ?
- En appliquant la définition $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Comment multiplier ou diviser des puissances de même base ?
- En additionnant les exposants pour la multiplication : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- En soustrayant les exposants pour la division : $a^m \div a^n = a^{m-n}$
Comment multiplier des puissances de même exposant ?
- En regroupant les bases sous la même puissance : $a^n \times b^n = (ab)^n$
Comment écrire un nombre en notation scientifique ?
- En déplaçant la virgule pour obtenir un facteur $a$ avec $1 \leq a < 10$ et en ajustant l'exposant de 10
Comment effectuer des calculs avec des nombres en notation scientifique ?
- En regroupant séparément les facteurs et les puissances de 10 (multiplication/division)
- En ramenant au même exposant avant d'additionner ou de soustraire les facteurs

Racine carrée

Comment calculer ou encadrer la racine carrée d'un nombre ?
- En identifiant les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $a < 0$ , puis en affinant si nécessaire
Comment résoudre une équation de la forme $x^2 = a$ ?
- En distinguant les cas : $a < 0$ (aucune solution), $a = 0$ ( $x = 0$ ), $a > 0$ ( $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ )
Comment simplifier une expression contenant des racines carrées ?
- En appliquant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour extraire des facteurs carrés parfaits

Multiples et diviseurs

Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?
- En divisant successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, …) jusqu'à obtenir 1
Comment rendre une fraction irréductible ?
- En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD
- En décomposant les deux termes en facteurs premiers et en simplifiant les facteurs communs
Comment trouver le PGCD de deux entiers ?
- En décomposant chaque nombre en facteurs premiers et en prenant le produit des facteurs communs au plus petit exposant
- En appliquant l'algorithme d'Euclide (divisions euclidiennes successives)
Comment résoudre un problème de conjonction de phénomènes périodiques ?
- En calculant le PPCM des périodes, puis en répondant à la question posée

Calcul littéral et équations

Comment développer avec la double distributivité ?
- En appliquant $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ terme à terme, puis en réduisant
Comment utiliser les identités remarquables pour développer ?
- En appliquant $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ou $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- En appliquant $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
Comment factoriser par un facteur commun ?
- En identifiant le facteur commun à tous les termes et en le mettant en évidence
Comment factoriser avec les identités remarquables ?
- En reconnaissant $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- En reconnaissant $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Comment résoudre une équation produit (règle du produit nul) ?
- En appliquant : si $A \times B = 0$ , alors $A = 0$ ou $B = 0$ , puis en résolvant chaque équation
Comment résoudre une inéquation du premier degré ?
- En isolant l'inconnue comme pour une équation, en inversant le sens de l'inégalité si on multiplie/divise par un nombre négatif
Comment mettre en équation et résoudre un problème ?
- En choisissant une inconnue, en traduisant les conditions par une équation, en la résolvant et en vérifiant la cohérence de la réponse

Fonctions

Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction ?
- En substituant la valeur dans l'expression algébrique de $f$
- En lisant graphiquement l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse donnée
Comment déterminer un antécédent par une fonction ?
- En résolvant algébriquement l'équation $f(x) = k$
- En lisant graphiquement la (les) abscisse(s) du point d'ordonnée $k$ sur la courbe
Comment reconnaître et utiliser une fonction linéaire ?
- En vérifiant que l'expression est de la forme $f(x) = ax$ (droite passant par l'origine)
Comment reconnaître et utiliser une fonction affine ?
- En vérifiant que l'expression est de la forme $b$ et en identifiant le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$
Comment représenter graphiquement une fonction linéaire ou affine ?
- En calculant les coordonnées de deux points (dont $(0, b)$ ) et en traçant la droite les reliant
Comment lire les paramètres d'une fonction affine sur son graphique ?
- En lisant $b$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées, et en calculant $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ entre deux points de la droite
Comment étudier et représenter la fonction carré ?
- En construisant un tableau de valeurs (avec des valeurs négatives et positives), en plaçant les points et en traçant la parabole
Comment résoudre graphiquement une équation ou inéquation ?
- En lisant les abscisses du point (ou des points) d'intersection de la courbe avec la droite horizontale $y = k$

Proportionnalité et pourcentages

Comment calculer le pourcentage d'une quantité ?
- En multipliant la quantité par le taux exprimé sous forme décimale
Comment calculer un taux d'évolution ?
- En calculant $\frac{v_f - v_i}{v_i} \times 100$ , puis en indiquant s'il s'agit d'une hausse ou d'une baisse
Comment appliquer un coefficient multiplicateur ?
- En multipliant la valeur initiale par le coefficient $1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \frac{t}{100}$ (baisse)
Comment calculer l'effet de deux évolutions successives ?
- En multipliant les deux coefficients multiplicateurs pour obtenir le coefficient global, puis en déduisant le taux global
Comment utiliser la proportionnalité en géométrie ?
- En appliquant l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés

Statistiques

Comment calculer et interpréter la moyenne ?
- En calculant $\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}$ (moyenne pondérée) et en l'interprétant dans le contexte
Comment déterminer la médiane ?
- En triant les données dans l'ordre croissant et en repérant la valeur centrale (ou la demi-somme des deux valeurs centrales si l'effectif est pair)
Comment calculer les quartiles ?
- En divisant la série ordonnée en quatre quarts d'effectifs égaux : $Q_1$ (25 %), médiane (50 %), $Q_3$ (75 %)
Comment construire et interpréter une boîte à moustaches ?
- En plaçant sur un axe gradué les cinq valeurs : minimum, $Q_1$ , médiane, $Q_3$ , maximum, et en traçant le rectangle et les moustaches
Comment calculer et utiliser les effectifs cumulés croissants ?
- En additionnant les effectifs de chaque classe de manière cumulative et en lisant des informations (médiane, quartiles) sur ce tableau
Comment lire et construire un histogramme ?
- En représentant chaque classe par un rectangle de largeur égale à l'amplitude, dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence)

Probabilités

Comment calculer la probabilité d'un événement ?
- En appliquant la règle d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?
- En appliquant $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Comment calculer la probabilité d'une réunion ou d'une intersection ?
- En appliquant $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Comment calculer des probabilités pour une expérience à deux épreuves ?
- En listant toutes les issues possibles dans un tableau à double entrée et en dénombrant les issues favorables
- En construisant un arbre de probabilités et en multipliant les probabilités le long des branches
Comment simuler une expérience aléatoire et interpréter les fréquences ?
- En utilisant un tableur ou un programme pour répéter l'expérience, calculer les fréquences et observer leur stabilisation vers la probabilité théorique

Théorème de Thalès

Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?
- En identifiant la configuration (triangles emboîtés ou papillon), en posant l'égalité des rapports de longueurs et en résolvant l'équation
Comment utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme ?
- En calculant les deux rapports de longueurs et en vérifiant leur égalité, puis en concluant sur le parallélisme des droites
Comment utiliser la contraposée ?
- En calculant les deux rapports et en constatant leur inégalité, puis en concluant que les droites ne sont pas parallèles
Comment identifier et utiliser des triangles semblables ?
- En vérifiant deux angles égaux (critère AA), puis en utilisant l'égalité des rapports des côtés homologues pour calculer des longueurs

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Comment choisir la bonne ligne trigonométrique ?
- En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → $\overrightarrow{AB}$ , opposé/hypoténuse → $\sin$ , opposé/adjacent → $\tan$
Comment calculer un côté inconnu ?
- En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en isolant et en calculant le côté inconnu
Comment calculer un angle inconnu ?
- En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en utilisant la fonction réciproque ( $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$ ) sur la calculatrice

Vecteurs

Comment définir et caractériser un vecteur ?
- En indiquant sa direction, son sens et sa norme (longueur) à partir du segment orienté $\overrightarrow{AB}$
Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?
- En vérifiant qu'ils ont même direction, même sens et même norme
- En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )
Comment calculer la somme de deux vecteurs ?
- En enchaînant les deux translations (règle du triangle) : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$
Comment utiliser la relation de Chasles ?
- En appliquant $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ pour simplifier des sommes ou des expressions vectorielles
Comment utiliser les vecteurs pour démontrer des propriétés géométriques ?
- En traduisant une relation géométrique (parallélisme, colinéarité, milieu) en égalité vectorielle et en la démontrant par le calcul

Géométrie dans l'espace

Comment calculer le volume d'une boule ?
- En appliquant la formule $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ avec le rayon $r$
Comment calculer le volume d'un assemblage de solides ?
- En décomposant l'assemblage en solides simples, en calculant chaque volume séparément et en les additionnant ou soustrayant
Comment se repérer sur une sphère ?
- En utilisant la latitude (angle par rapport à l'équateur) et la longitude (angle par rapport au méridien de référence) pour localiser un point
Comment décrire la section d'un solide par un plan ?
- En identifiant la forme obtenue selon la position du plan coupant (parallèle à une face → même forme, perpendiculaire à l'axe d'un cylindre → disque, etc.)

Rotations et homothéties

Comment construire l'image d'une figure par une rotation ?
- En construisant l'image de chaque point sommet : même distance au centre $O$ , angle de rotation mesuré au rapporteur, puis en reliant les images
Comment utiliser les propriétés de conservation d'une rotation ?
- En appliquant que la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires pour calculer des grandeurs sur la figure image
Comment construire l'image d'une figure par une homothétie ?
- En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre $O$ , à une distance égale à $|k|$ fois la distance $OM$ , du même côté si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$
Comment utiliser le rapport d'une homothétie pour calculer des longueurs ou des aires ?
- En multipliant les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$
Comment identifier une transformation dans une figure ?
- En cherchant le centre invariant (rotation ou homothétie), puis en calculant l'angle (rotation) ou le rapport (homothétie) à partir de deux points homologues

Algorithmique et programmation

Comment utiliser une variable dans un programme ?
- En déclarant la variable, en lui affectant une valeur initiale et en la modifiant ou en la lisant au fil du programme
Comment écrire une condition composée ?
- En combinant deux conditions avec « ET » (les deux doivent être vraies simultanément) ou « OU » (au moins l'une est vraie)
Comment écrire une boucle conditionnelle ?
- En utilisant « Tant que [condition] faire … » ou « Répéter … jusqu'à [condition] » pour répéter des instructions tant qu'une condition est vérifiée (ou jusqu'à ce qu'elle le soit)
Comment décomposer un problème en sous-problèmes ?
- En identifiant les tâches répétitives ou modulaires, en créant un bloc personnalisé pour chacune et en les appelant dans le programme principal
Comment simuler une expérience aléatoire avec un programme ?
- En utilisant un bloc « nombre aléatoire », en répétant l'expérience un grand nombre de fois, en comptant les occurrences favorables et en comparant les fréquences aux probabilités théoriques

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées