Comment simuler une expérience… : En utilisant un bloc « nombre aléatoire », en… — 3e | MetMat

Comment simuler une expérience aléatoire avec un programme ?

En utilisant un bloc « nombre aléatoire », en répétant l'expérience un grand nombre de fois, en comptant les occurrences favorables et en comparant les fréquences aux probabilités théoriques

Écrire un programme qui simule une expérience aléatoire un grand nombre de fois pour estimer une probabilité par la fréquence des cas favorables, et comparer ce résultat à la valeur théorique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simule le lancer d'un dé équilibré à $6$ faces $1000$ fois et estime la probabilité d'obtenir un $6$ .

L'objectif

Le principe

La loi des grands nombres affirme que, lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence des cas favorables se rapproche de la probabilité théorique. On exploite ce principe en simulant l'expérience avec un programme et en comptant les résultats.

La méthode

1
Initialiser deux variables : $\mathrm{nbEssais}$ (nombre total d'expériences, ex. $1000$ ) et $\mathrm{nbFavorables}$ (nombre de cas favorables, initialisé à $0$ ).
Comment utiliser une variable dans un programme ?Voir
2
Mettre en place la boucle de simulation : « répéter $\mathrm{nbEssais}$ fois » et, à l'intérieur, générer un résultat aléatoire avec le bloc « nombre aléatoire entre $[a]$ et $[b]$ ».
Comment écrire une boucle conditionnelle ?Voir
3
Tester si le résultat est un cas favorable : utiliser un bloc « Si $\langle \text{résultat favorable} \rangle$ alors » pour incrémenter $\mathrm{nbFavorables}$ de $1$ .
4
Calculer la fréquence observée : $f = \dfrac{\mathrm{nbFavorables}}{\mathrm{nbEssais}}$ (créer une variable $\text{fréquence}$ et utiliser « mettre $\text{fréquence}$ à $\mathrm{nbFavorables} / \mathrm{nbEssais}$ »).
5
Comparer la fréquence obtenue à la probabilité théorique et commenter : plus $\mathrm{nbEssais}$ est grand, plus $f$ se rapproche de la probabilité théorique $p$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simule le lancer d'un dé équilibré à $6$ faces $1000$ fois et estime la probabilité d'obtenir un $6$ .

Étape 1 —

Initialiser deux variables :

\mathrm{nbEssais}

(nombre total d'expériences, ex.

1000

) et

\mathrm{nbFavorables}

(nombre de cas favorables, initialisé à

0

On initialise : $\mathrm{nbEssais} = 1000$ , $\mathrm{nbFavorables} = 0$ .

Étape 2 —

Mettre en place la boucle de simulation : « répéter

\mathrm{nbEssais}

fois » et, à l'intérieur, générer un résultat aléatoire avec le bloc « nombre aléatoire entre

[a]

[b]

».

Dans une boucle « répéter $1000$ fois » : mettre $\text{dé}$ à « nombre aléatoire entre $1$ et $6$ ».

Étape 3 —

Tester si le résultat est un cas favorable : utiliser un bloc « Si

\langle \text{résultat favorable} \rangle

alors » pour incrémenter

\mathrm{nbFavorables}

1

Si $\text{dé} = 6$ alors ajouter $1$ à $\mathrm{nbFavorables}$ .

Étape 4 —

Calculer la fréquence observée :

f = \dfrac{\mathrm{nbFavorables}}{\mathrm{nbEssais}}

(créer une variable

\text{fréquence}

et utiliser « mettre

\text{fréquence}

\mathrm{nbFavorables} / \mathrm{nbEssais}

»).

Après la boucle : mettre $\text{fréquence}$ à $\mathrm{nbFavorables} / 1000$ et afficher.

Étape 5 —

Comparer la fréquence obtenue à la probabilité théorique et commenter : plus

\mathrm{nbEssais}

est grand, plus

f

se rapproche de la probabilité théorique

p

Comparer : la probabilité théorique est $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ ; la fréquence simulée devrait en être proche.

La fréquence observée après $1000$ lancers est proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ . Plus on augmente $\mathrm{nbEssais}$ , plus la fréquence se stabilise autour de $0{,}167$ .

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