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Accueil › Méthodes › ECG 2ème année Maths Appliquées

Méthodes de mathématiques — ECG 2ème année Maths Appliquées

20 chapitres, 133 questions types et 145 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Espaces vectoriels réels de dimension finie

Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ , $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ ou $\mathbb{R}_n[X]$ ?
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?
- En résolvant l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0$ et en concluant $\lambda_i = 0$
- En montrant que la matrice formée par les vecteurs en colonne est de rang $p$
Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?
- En montrant que tout vecteur du sous-espace s'écrit comme combinaison linéaire de la famille
Comment montrer qu'une famille est une base ?
- En montrant qu'elle est libre et de cardinal égal à la dimension
- En montrant qu'elle est libre et génératrice
Comment déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel ?
- En exhibant une base et en comptant ses vecteurs
- En appliquant le théorème du rang
Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?
- En appliquant l'algorithme du pivot de Gauss sur la matrice formée par les vecteurs
Comment exprimer un vecteur dans une base ?
- En résolvant le système linéaire donnant les coordonnées du vecteur dans la base

Endomorphismes et applications linéaires en dimension finie

Comment montrer qu'une application est linéaire ?
- En vérifiant $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?
- En calculant les images des vecteurs de la base de départ et en les écrivant en colonnes dans la base d'arrivée
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?
- En résolvant le système $f(x) = 0$ et en exhibant une base de l'ensemble des solutions
Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?
- En montrant que l'image est engendrée par les images des vecteurs d'une base et en extrayant une famille libre
Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?
- En calculant le rang de sa matrice par pivot de Gauss
- En appliquant le théorème du rang $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$
Comment montrer qu'un endomorphisme est un isomorphisme ?
- En montrant que son noyau est réduit à $\{0\}$ (en dimension finie)
- En montrant que sa matrice associée est inversible
Comment utiliser le théorème du rang ?
- En posant la relation $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$ pour déduire l'une des dimensions
Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ ?
- En écrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans la base $\mathcal{B}$
Comment effectuer un changement de base pour un vecteur ou une matrice d'endomorphisme ?
- En appliquant $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ pour un vecteur ou $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$ pour un endomorphisme
Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?
- En exhibant une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$
- En montrant qu'elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes

Réduction des matrices carrées

Comment déterminer le spectre (valeurs propres) d'une matrice carrée ?
- En cherchant les $\lambda$ tels que $A - \lambda I_n$ ne soit pas inversible (déterminant nul ou rang $< n$ )
Comment déterminer un sous-espace propre associé à une valeur propre ?
- En résolvant le système $(A - \lambda I_n) X = 0$ et en exhibant une base
Comment exploiter un polynôme annulateur pour trouver les valeurs propres possibles ?
- En utilisant que toute valeur propre est racine du polynôme annulateur (résultat admis au BO)
Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?
- En montrant que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$
- En invoquant le caractère symétrique de la matrice (théorème admis)
Comment diagonaliser explicitement une matrice ( $D = P^{-1} A P$ ) ?
- En formant $P$ avec les vecteurs propres en colonnes et $D$ diagonale avec les valeurs propres associées
Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?
- En écrivant $A^n = P D^n P^{-1}$
Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice non diagonalisable via la formule du binôme ?
- En décomposant $A = D + N$ avec $D, N$ qui commutent et $N$ nilpotente, puis en appliquant la formule du binôme
Comment étudier une suite récurrente linéaire matricielle $X_{n+1} = A X_n$ ?
- En diagonalisant $A$ et en déduisant l'expression $X_n = A^n X_0$

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Comment écrire un système différentiel sous forme matricielle $X'=AX$ ?
- En identifiant les coefficients du système et en formant la matrice $A$
Comment résoudre $X'=AX$ lorsque $A$ est diagonalisable (taille 2 ou 3) ?
- En diagonalisant $A$ , en posant $Y=P^{-1}X$ , puis en résolvant $Y'=DY$ qui se découple
Comment déterminer le comportement asymptotique des trajectoires d'un système $X'=AX$ ?
- En examinant le signe des valeurs propres de $A$
Comment étudier la stabilité d'un état d'équilibre d'un système $X'=AX$ ?
- En vérifiant que toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement négatives (stabilité asymptotique)
Comment ramener une équation scalaire d'ordre 2 à un système d'ordre 1 ?
- En posant $X=(y,y')^T$ et en écrivant le système associé
Comment résoudre un problème de Cauchy $X'=AX,\ X(t_0)=X_0$ ?
- En écrivant la solution générale puis en déterminant les constantes via la condition initiale

Comparaison asymptotique des suites & compléments séries

Comment montrer que $u_n = o(v_n)$ ?
- En montrant que $u_n / v_n \to 0$
Comment montrer que $u_n \sim v_n$ ?
- En montrant que $u_n / v_n \to 1$
- En écrivant $u_n - v_n = o(v_n)$
Comment utiliser les croissances comparées avec $o$ et $\sim$ ?
- En réécrivant les hiérarchies $\ln \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!$ en termes de négligeabilité
Comment déterminer le comportement asymptotique d'une suite par équivalent ?
- En cherchant un équivalent simple via factorisation du terme dominant
Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?
- En majorant $u_n$ par $v_n$ avec $\sum v_n$ convergente
- En utilisant $u_n = o(v_n)$ ou $u_n \sim v_n$ avec $\sum v_n$ convergente
Comment utiliser la convergence des séries de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ ?
- En comparant $u_n$ à $1/n^\alpha$ et en concluant via $\alpha > 1$
Comment étudier une série à termes quelconques (convergence absolue) ?
- En montrant la convergence absolue $\sum |u_n|$
Comment calculer la somme d'une série télescopique ?
- En écrivant $u_n = a_{n+1} - a_n$ et en simplifiant la somme partielle

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ?
- En montrant que $f(I) \subset I$ par étude des variations
Comment déterminer les points fixes de $f$ ?
- En résolvant l'équation $f(\ell) = \ell$
Comment étudier la monotonie de $(u_n)$ avec $f$ croissante ?
- En comparant $u_1$ à $u_0$ puis en propageant la monotonie par récurrence
Comment montrer qu'une suite récurrente est bornée ?
- En montrant par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable par $f$
Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ?
- En appliquant le théorème : si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$
Comment illustrer le comportement de $(u_n)$ avec une représentation Python ?
- En traçant le graphe escalier/toile d'araignée avec matplotlib

Comparaison des fonctions et développements limités (ordre 1-2)

Comment montrer que $f = o(g)$ au voisinage d'un point $x_0$ ?
- En montrant que $f/g \to 0$ en $x_0$
Comment montrer que $f \sim g$ au voisinage d'un point $x_0$ ?
- En montrant que $f/g \to 1$ en $x_0$
Comment déterminer une limite à l'aide d'équivalents ?
- En remplaçant les facteurs/quotients par leurs équivalents
Comment écrire le DL à l'ordre 1 ou 2 d'une fonction de classe $C^1$ ou $C^2$ en $x_0$ ?
- En appliquant la formule de Taylor-Young
Comment utiliser les DL usuels de $e^x$ , $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $0$ ?
- En écrivant les DL usuels au voisinage de 0
Comment étudier l'allure locale d'un graphe à partir d'un DL d'ordre 2 ?
- En analysant le signe de $a_2$ pour conclure

Intégration généralisée à un intervalle quelconque

Comment étudier la convergence d'une intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ par définition ?
- En calculant $\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ et en vérifiant qu'elle est finie
Comment utiliser les intégrales de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ et $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ comme références ?
- En comparant à $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ (converge ssi $\alpha > 1$ ) ou à $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ (converge)
Comment montrer la convergence d'une intégrale de fonction positive par majoration, $o$ ou $\sim$ ?
- En majorant $0 \leq f \leq g$ avec $\int g$ convergente
- En utilisant $f = o(g)$ ou $f \sim g$ avec $g$ positive et $\int g$ convergente
Comment montrer la convergence absolue d'une intégrale ?
- En montrant la convergence de $\int |f|$ et en concluant par le théorème admis
Comment calculer une intégrale impropre convergente (par primitive ou passage à la limite) ?
- En calculant une primitive sur un segment et en passant à la limite
Comment étendre l'étude aux intégrales sur $]-\infty, b]$ ou $]-\infty, +\infty[$ ?
- En découpant en deux intégrales en un point $c$ et en étudiant chaque morceau séparément

Statistiques bivariées

Comment représenter un nuage de points et le point moyen $(\bar{x},\bar{y})$ ?
- En traçant les points $(x_i,y_i)$ et en plaçant $(\bar{x},\bar{y})$
Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?
- En appliquant $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$
Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?
- En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$
Comment déterminer les droites de régression par moindres carrés ?
- En posant $y=ax+b$ avec $a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$
Comment effectuer une pré-transformation pour se ramener au cas linéaire ?
- En appliquant un changement de variable (ex : $\ln$ ) pour linéariser une relation puissance ou exponentielle

Couples de variables aléatoires discrètes

Comment déterminer la loi conjointe d'un couple $(X, Y)$ ?
- En calculant $P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ pour tous $(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ via un tableau ou une formule
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?
- En sommant les lignes ou les colonnes : $P([X = x_i]) = \sum_{j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$
Comment déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y]$ ?
- En calculant $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$
Comment déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ (cas $X + Y$ ou $XY$ ) ?
- En identifiant $Z(\Omega)$ puis en sommant $P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$
Comment calculer $E(g(X, Y))$ par théorème de transfert ?
- En appliquant $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$
Comment montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ ?
- En vérifiant que $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$
Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?
- En appliquant $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ puis $\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
Comment calculer la variance d'une somme $V(X + Y)$ ?
- En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$
Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?
- En passant par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$

Suites de variables aléatoires discrètes (indépendance mutuelle)

Comment montrer l'indépendance mutuelle de $n$ variables aléatoires discrètes ?
- En vérifiant que pour tout $(x_1,\dots,x_n)$ , $P\!\left(\bigcap_{i=1}^{n}[X_i=x_i]\right)=\prod_{i=1}^{n} P([X_i=x_i])$
Comment utiliser le lemme des coalitions ?
- En partitionnant $\{X_1,\dots,X_n\}$ en deux sous-blocs et en appliquant le lemme : toute fonction du premier bloc est indépendante de toute fonction du second
Comment calculer $E(X_1+\dots+X_n)$ ?
- En appliquant la linéarité $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$
Comment calculer $V(X_1+\dots+X_n)$ pour des variables aléatoires indépendantes ?
- En appliquant $V\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} V(X_i)$ sous l'hypothèse d'indépendance mutuelle
Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme indépendante ?
- En reconnaissant que $X_1+X_2\sim\mathcal{B}(n_1+n_2,p)$ ou $\sim\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$ pour des lois indépendantes

Fonctions continues et calcul différentiel sur R²

Comment montrer qu'une fonction de deux variables est continue sur R² ?
- En la reconnaissant comme somme/produit/quotient/composée de fonctions continues usuelles
Comment représenter une ligne de niveau d'une fonction de deux variables ?
- En résolvant l'équation f(x,y) = c et en traçant la courbe correspondante
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?
- En dérivant f(x,y) par rapport à x (resp. y) en fixant l'autre variable
Comment montrer qu'une fonction est de classe C¹ (resp. C²) sur R² ?
- En vérifiant que les dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2) existent et sont continues sur R²
Comment écrire le gradient ∇f(x,y) d'une fonction en un point ?
- En posant ∇f(x,y) = (∂₁f(x,y), ∂₂f(x,y))ᵀ
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?
- En dérivant successivement et en appliquant ∂²₁,₂f = ∂²₂,₁f pour f ∈ C²
Comment écrire la matrice hessienne d'une fonction de deux variables ?
- En posant ∇²f(x,y) = matrice 2×2 des dérivées partielles secondes (symétrique pour f ∈ C²)

Extrema des fonctions de deux variables

Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert ?
- En résolvant le système $\nabla f(x,y)=(0,0)$
Comment classer un point critique (extremum local ou point col) à l'aide des valeurs propres de la hessienne ?
- En calculant les valeurs propres de $\nabla^2 f(x_0,y_0)$ et en lisant leurs signes
Comment montrer qu'une fonction admet un minimum / maximum global sur une partie fermée bornée ?
- En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^2$ y atteint ses bornes
Comment déterminer les coefficients de la droite de régression à l'aide des dérivées partielles ?
- En minimisant $S(a,b)=\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$ via $\partial_a S=0$ et $\partial_b S=0$

Chaînes de Markov (graphes probabilistes)

Comment construire la matrice de transition $M$ d'un graphe probabiliste ?
- En posant $m_{i,j} = P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])$ à partir du graphe probabiliste
Comment écrire la relation de récurrence $V_n = V_{n-1} M$ entre deux états successifs ?
- En interprétant la matrice ligne $V_n = (P([X_n=1]), \\ldots, P([X_n=r]))$
Comment calculer $V_n$ à partir de $V_0$ et $M$ ?
- En écrivant $V_n = V_0 M^n$ puis en calculant $M^n$ par diagonalisation
Comment déterminer un état stable $V$ tel que $V = V M$ ?
- En résolvant le système $V = V M$ avec $\\sum v_i = 1$
Comment étudier la convergence en loi d'une chaîne de Markov vers son état stable ?
- En diagonalisant $M$ et en analysant les puissances $M^n$
Comment simuler une chaîne de Markov en Python ?
- En utilisant numpy.random.choice à chaque étape selon les probabilités de transition

Variables aléatoires à densité — définition et moments

Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ?
- En vérifiant que $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$
Comment déterminer la fonction de répartition $F_X$ d'une variable à densité $X$ ?
- En calculant $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par intégration de la densité
Comment retrouver une densité $f_X$ à partir d'une fonction de répartition $F_X$ ?
- En dérivant $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ : $f_X(x) = F_X'(x)$
Comment déterminer la loi de $aX + b$ (transformation affine) à partir de celle de $X$ ?
- En calculant $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité (cas $a > 0$ et $a < 0$ )
Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?
- En montrant que $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, puis en calculant cette intégrale
Comment montrer que $X$ admet une variance et la calculer ?
- En vérifiant l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et en appliquant $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$
Comment appliquer le théorème de transfert ?
- En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue

Lois à densité usuelles et transferts

Comment reconnaître et utiliser la loi uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ ?
- En posant $f_X(t) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(t)$ , $E(X) = \frac{a+b}{2}$ , $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
Comment reconnaître et utiliser la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ et son absence de mémoire ?
- En posant $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}\,\mathbf{1}_{t \ge 0}$ , $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ , $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ , et en exploitant $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$
Comment reconnaître et utiliser la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ?
- En écrivant $f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ , $E(X) = \mu$ , $V(X) = \sigma^2$
Comment se ramener à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ ?
- En posant $X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$
Comment utiliser la fonction de répartition $\Phi$ de $\mathcal{N}(0,1)$ et la propriété $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ ?
- En centrant-réduisant puis en lisant la table de $\Phi$ et en appliquant $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
Comment déterminer la loi d'une somme de variables normales indépendantes ?
- En appliquant le théorème : $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ , $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ indép $\Rightarrow X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$
Comment déterminer la loi de $g(X)$ ( $X^2$ , $\exp(X)$ , $-\frac{1}{\lambda}\ln(1-Y)$ ) par changement de variable ?
- En passant par la fonction de répartition $F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité

Convergences et approximations (Markov, Bienaymé-Tchebychev, LFGN, conv. en loi, TCL)

Comment appliquer l'inégalité de Markov à une variable positive ?
- En écrivant $P([X \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X)}{a}$ pour $X \\geq 0$ et $a > 0$
Comment appliquer Bienaymé-Tchebychev pour estimer $P([|X-E(X)| \\geq \\varepsilon])$ ?
- En écrivant $P([|X - E(X)| \\geq \\varepsilon]) \\leq \\dfrac{V(X)}{\\varepsilon^2}$
Comment montrer qu'une suite $(\\bar{X}_n)$ vérifie la loi faible des grands nombres ?
- En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $\\bar{X}_n = \\dfrac{X_1 + \\cdots + X_n}{n}$ avec $E(\\bar{X}_n) = m$ et $V(\\bar{X}_n) = \\dfrac{\\sigma^2}{n}$
Comment montrer une convergence en loi (cas $\\mathbb{Z}$ ) ?
- En montrant $\\lim_{n \\to +\\infty} P([X_n = k]) = P([X = k])$ pour tout $k \\in \\mathbb{Z}$
Comment appliquer l'approximation $\\mathcal{B}(n, \\lambda/n) \\to \\mathcal{P}(\\lambda)$ ?
- En vérifiant que $n$ est grand et $\\lambda/n$ petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre $\\lambda$
Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?
- En centrant-réduisant $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et en approximant par $\\mathcal{N}(0, 1)$
Comment approximer une binomiale (ou Poisson) par une normale ?
- En appliquant le TCL sur la somme $S_n$ et en approximant par $\\mathcal{N}(np, np(1-p))$ (resp. $\\mathcal{N}(\\lambda, \\lambda)$ )

Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance

Comment définir un n-échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ d'une loi ?
- En posant $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$
Comment construire un estimateur $T_n$ de $g(\theta)$ et calculer son biais ?
- En proposant $T_n = \varphi(X_1, \dots, X_n)$ et en calculant $b(T_n) = \mathbb{E}(T_n) - g(\theta)$
Comment justifier que la moyenne empirique $\overline{X}_n$ est un estimateur de l'espérance ?
- En montrant que $\mathbb{E}(\overline{X}_n) = m$ (sans biais) et $\mathbb{V}(\overline{X}_n) = \sigma^2/n \to 0$
Comment instancier l'estimateur du maximum de vraisemblance sur Bernoulli/Poisson ?
- En écrivant la vraisemblance $L(\theta)$ , en passant au log et en cherchant le point critique
Comment construire un IC de $m$ via Bienaymé-Tchebychev ?
- En partant de $\mathbb{P}([|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon]) \leq \sigma^2/(n\varepsilon^2)$ et en posant $\sigma^2/(n\varepsilon^2) = \alpha$
Comment construire un IC pour la moyenne d'une loi normale (écart-type connu) ?
- En utilisant $\overline{X}_n \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2/n)$ et en lisant $t$ tel que $\Phi(t) = 1 - \alpha/2$
Comment construire un IC asymptotique via TCL ?
- En appliquant le TCL : $\overline{X}_n - t \cdot S_n/\sqrt{n} < m < \overline{X}_n + t \cdot S_n/\sqrt{n}$ avec $t$ quantile de $\mathcal{N}(0,1)$
Comment comparer plusieurs IC d'un paramètre (largeur, niveau) ?
- En calculant les demi-largeurs moyennes pour un même niveau de confiance fixé

Bases de données (SQL)

Comment lire un schéma relationnel (clés primaires, clés étrangères) ?
- En identifiant PRIMARY KEY et FOREIGN KEY dans la définition des tables et en analysant les relations entre tables
Comment sélectionner des lignes d'une table avec SELECT ... FROM ... WHERE ?
- En écrivant SELECT champ FROM table WHERE condition
Comment insérer, mettre à jour ou supprimer des données (INSERT, UPDATE, DELETE) ?
- En écrivant INSERT INTO table VALUES (...), UPDATE table SET ... WHERE ..., DELETE FROM table WHERE ...
Comment réaliser une jointure interne (INNER JOIN ... ON) entre deux tables ?
- En écrivant SELECT * FROM table1 INNER JOIN table2 ON table1.cle = table2.cle
Comment créer une nouvelle table (CREATE TABLE) ?
- En écrivant CREATE TABLE nom (champ1 TYPE PRIMARY KEY, champ2 TYPE, ..., FOREIGN KEY (champ) REFERENCES autre_table(champ))
Comment combiner conditions logiques (AND, OR, NOT) et comparaisons dans une requête ?
- En utilisant AND, OR, NOT avec les opérateurs de comparaison =, <>, <, <=, >, >=

Python — équations différentielles, chaînes de Markov, estimation

Comment représenter graphiquement les trajectoires d'un système différentiel avec scipy.integrate.odeint ?
- En appelant scipy.integrate.odeint(f, X0, t) puis en traçant les trajectoires avec matplotlib
Comment simuler une chaîne de Markov et observer son état stable en Python ?
- En itérant sur numpy.random.choice(range(r), p=M[etat_courant]) et en observant la convergence vers l'état stable
Comment simuler un échantillon d'une loi (Bernoulli, Poisson) avec numpy.random ?
- En appelant numpy.random.binomial(1, p, n) ou numpy.random.poisson(lam, n)
Comment comparer empiriquement plusieurs estimateurs (histogrammes, moyennes) ?
- En générant plusieurs jeux de données simulés, en calculant les estimateurs et en traçant des histogrammes via matplotlib.pyplot.hist
Comment construire numériquement un intervalle de confiance asymptotique en Python ?
- En calculant X̄ₙ et Sₙ sur l'échantillon, puis en utilisant le quantile de N(0,1) via scipy.stats.norm.ppf

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies