Comment calculer $E(g(X, Y))$ par théorème de transfert ?

En appliquant $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$

L'objectif

Calculer $E(g(X, Y))$ pour une fonction $g$ donnée et un couple discret $(X, Y)$ dont on connaît la loi conjointe.

Le principe

Théorème de transfert (admis au BO) : si $\sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} |g(x, y)|\, P([X = x] \cap [Y = y])$ converge, alors $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse d'existence : la somme $\sum_{(x, y)} |g(x, y)|\, P([X = x] \cap [Y = y])$ converge (toujours vrai si $X(\Omega) \times Y(\Omega)$ est fini).
2
Je dresse la liste des couples $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ et des valeurs $g(x, y)$ et $P([X = x] \cap [Y = y])$ correspondantes.
3
J'applique la formule $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$ et je calcule la somme (éventuellement par regroupement, factorisation ou Fubini).
4
Je conclus et, si possible, je vérifie le résultat par une méthode alternative (linéarité de l'espérance, indépendance pour $E(XY)$ , etc.).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant E(g(X,Y))=∑(x,y)g(x,y) P([X=x]∩[Y=y])E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])E(g(X,Y))=∑(x,y)​g(x,y)P([X=x]∩[Y=y])

Exemple corrigé

En appliquant $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$