En appliquant la linéarité $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

Calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires discrètes en sommant leurs espérances individuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables de Bernoulli (non nécessairement indépendantes) de paramètres respectifs $p_1,\dots,p_n$ . Calculer $E(X_1+\dots+X_n)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires discrètes en sommant leurs espérances individuelles.

Le principe

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires discrètes admettant chacune une espérance, alors $X_1+\dots+X_n$ admet une espérance et $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$ , sans hypothèse d'indépendance.

La méthode

1
Je vérifie que chaque $X_i$ admet une espérance $E(X_i)$ et je l'identifie (loi usuelle ou calcul direct $E(X_i)=\sum_{x}xP([X_i=x])$ ).
2
J'écris $S=\sum_{i=1}^{n} X_i$ et j'applique la linéarité de l'espérance : $E(S)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$ , sans avoir besoin d'indépendance.
3
Je calcule la somme obtenue (souvent une somme géométrique, arithmétique ou télescopique) pour obtenir une expression close de $E(S)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables de Bernoulli (non nécessairement indépendantes) de paramètres respectifs $p_1,\dots,p_n$ . Calculer $E(X_1+\dots+X_n)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que chaque

X_i

admet une espérance

E(X_i)

et je l'identifie (loi usuelle ou calcul direct

E(X_i)=\sum_{x}xP([X_i=x])

Chaque $X_i\sim\mathcal{B}(p_i)$ admet une espérance $E(X_i)=p_i$ .

Étape 2 —

J'écris

S=\sum_{i=1}^{n} X_i

et j'applique la linéarité de l'espérance :

E(S)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)

, sans avoir besoin d'indépendance.

Par linéarité de l'espérance, $E\!\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\sum_{i=1}^{n}p_i$ , sans hypothèse d'indépendance.

Étape 3 —

Je calcule la somme obtenue (souvent une somme géométrique, arithmétique ou télescopique) pour obtenir une expression close de

E(S)

L'expression est déjà sous forme close.

$E(X_1+\dots+X_n)=\sum_{i=1}^{n}p_i$ .

Application guidée

On effectue $n$ tirages sans remise dans une urne contenant $N$ boules dont $a$ blanches. Soit $X_i$ valant $1$ si la $i$ -ème boule tirée est blanche et $0$ sinon. Calculer $E(X_1+\dots+X_n)$ (cela donne l'espérance d'une loi hypergéométrique).

Application autonome 1

Soit $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ . Retrouver $E(X)=np$ en écrivant $X$ comme somme de $n$ Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ .

Application autonome 2

Une boîte contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ . On effectue une permutation aléatoire uniforme des numéros. Soit $F$ le nombre de points fixes (boules à leur place initiale). Calculer $E(F)$ .

Application autonome 3

On tire avec remise $n$ boules dans une urne contenant $3$ rouges et $7$ bleues. Soit $R$ le nombre total de rouges tirées. Calculer $E(R)$ par linéarité.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la linéarité E ⁣(∑i=1nXi)=∑i=1nE(Xi)E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)E(∑i=1n​Xi​)=∑i=1n​E(Xi​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la linéarité $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)$