Comment déterminer la loi de $aX + b$ (transformation affine) à partir de celle de $X$ ?

En calculant $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité (cas $a > 0$ et $a < 0$ )

L'objectif

Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ , à partir de la loi de $X$ .

Le principe

On exprime $F_Y(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ en fonction de $F_X$ en isolant $X$ , en distinguant $a > 0$ (l'inégalité est conservée) et $a < 0$ (l'inégalité est renversée), puis on dérive pour obtenir la densité.

La méthode

1
Je pose $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ et je vérifie que je connais la fonction de répartition $F_X$ ou une densité $f_X$ de $X$ .
2
Je distingue les deux cas selon le signe de $a$ et j'isole $X$ : si $a > 0$ , $aX + b \leq x \iff X \leq \dfrac{x - b}{a}$ donc $F_Y(x) = F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ ; si $a < 0$ , l'inégalité s'inverse et $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left( X \geq \dfrac{x - b}{a} \right) = 1 - F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ .
3
Je dérive $F_Y$ par rapport à $x$ , en utilisant la dérivation d'une composée : $F_Y'(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ .
4
J'écris la densité $f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|}\,f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ et j'identifie éventuellement la loi obtenue.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En calculant FaX+b(x)=P(aX+b≤x)F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)FaX+b​(x)=P(aX+b≤x) puis en dérivant pour obtenir la densité (cas a>0a > 0a>0 et a<0a < 0a<0)

Exemple corrigé

En calculant $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité (cas $a > 0$ et $a < 0$ )