Comment approximer une binomiale (ou Poisson) par une normale ? | MetMat

Comment approximer une binomiale (ou Poisson) par une normale ?

En appliquant le TCL sur la somme $S_n$ et en approximant par $\\mathcal{N}(np, np(1-p))$ (resp. $\\mathcal{N}(\\lambda, \\lambda)$ )

Approcher numériquement une probabilité liée à $\\mathcal{B}(n, p)$ ou $\\mathcal{P}(\\lambda)$ via une loi normale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(400,\\ 0{,}5)$ . Approcher $P([X \\leq 210])$ .

L'objectif

Approcher numériquement une probabilité liée à $\\mathcal{B}(n, p)$ ou $\\mathcal{P}(\\lambda)$ via une loi normale.

Le principe

Une loi $\\mathcal{B}(n, p)$ se décompose en $S_n = X_1 + \\cdots + X_n$ avec $X_k \\sim \\mathcal{B}(p)$ i.i.d. ; le TCL permet d'approcher $S_n$ par $\\mathcal{N}(np, np(1-p))$ pour $n$ grand. De même, $\\mathcal{P}(\\lambda)$ s'approche par $\\mathcal{N}(\\lambda, \\lambda)$ pour $\\lambda$ grand (en décomposant $\\mathcal{P}(\\lambda)$ en somme de $\\mathcal{P}(\\lambda/n)$ ).

La méthode

1
J'identifie la loi de $S_n$ ( $\\mathcal{B}(n, p)$ ou $\\mathcal{P}(\\lambda)$ ) et je vérifie les conditions de l'approximation normale (typiquement $np \\geq 5$ et $n(1-p) \\geq 5$ pour la binomiale ; $\\lambda \\geq 15$ pour la Poisson).
2
Je calcule l'espérance et la variance : $E(S_n) = np$ et $V(S_n) = np(1-p)$ (resp. $E = V = \\lambda$ pour Poisson).
3
J'écris $S_n^* = \\dfrac{S_n - E(S_n)}{\\sqrt{V(S_n)}}$ et je traduis l'événement à étudier en un événement sur $S_n^*$ .
4
Par le TCL, $S_n^*$ suit approximativement $\\mathcal{N}(0, 1)$ , et je conclus avec la fonction $\\Phi$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \\sim \\mathcal{B}(400,\\ 0{,}5)$ . Approcher $P([X \\leq 210])$ .

Étape 1 —

J'identifie la loi de

S_n

(

\\mathcal{B}(n, p)

\\mathcal{P}(\\lambda)

) et je vérifie les conditions de l'approximation normale (typiquement

np \\geq 5

n(1-p) \\geq 5

pour la binomiale ;

\\lambda \\geq 15

pour la Poisson).

$X \\sim \\mathcal{B}(400,\\ 0{,}5)$ avec $np = 200 \\geq 5$ et $n(1-p) = 200 \\geq 5$ : approximation normale licite.

Étape 2 —

Je calcule l'espérance et la variance :

E(S_n) = np

V(S_n) = np(1-p)

(resp.

E = V = \\lambda

pour Poisson).

$E(X) = 200$ et $V(X) = 400 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 100$ , donc $\\sigma = 10$ .

Étape 3 —

J'écris

S_n^* = \\dfrac{S_n - E(S_n)}{\\sqrt{V(S_n)}}

et je traduis l'événement à étudier en un événement sur

S_n^*

$X^* = \\dfrac{X - 200}{10}$ ; l'événement $X \\leq 210$ équivaut à $X^* \\leq 1$ .

Étape 4 —

Par le TCL,

S_n^*

suit approximativement

\\mathcal{N}(0, 1)

, et je conclus avec la fonction

\\Phi

Par le TCL : $P([X \\leq 210]) \\approx \\Phi(1) \\approx 0{,}8413$ .

$P([X \\leq 210]) \\approx 0{,}841$ .

Application guidée

Soit $X \\sim \\mathcal{P}(100)$ . Approcher $P([X \\geq 110])$ .

Application autonome 1

Un sondage interroge $n = 1000$ personnes ; chacune répond "oui" avec probabilité $p = 0{,}3$ indépendamment. Soit $S_n$ le nombre de "oui". Approcher $P([280 \\leq S_n \\leq 320])$ .

Application autonome 2

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(900, 0{,}4)$ . Approcher $P([X \geq 380])$ avec $\Phi(1{,}36) \approx 0{,}913$ .

Application autonome 3

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(64)$ . Approcher $P([X \leq 56])$ avec $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant le TCL sur la somme SnS_nSn​ et en approximant par mathcalN(np,np(1−p))\\mathcal{N}(np, np(1-p))mathcalN(np,np(1−p)) (resp. mathcalN(lambda,lambda)\\mathcal{N}(\\lambda, \\lambda)mathcalN(lambda,lambda))

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant le TCL sur la somme $S_n$ et en approximant par $\\mathcal{N}(np, np(1-p))$ (resp. $\\mathcal{N}(\\lambda, \\lambda)$ )