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Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de Rn\mathbb{R}^n, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) ou Rn[X]\mathbb{R}_n[X] ?

En vérifiant qu'elle est non vide et stable par combinaison linéaire

L'objectif

Prouver qu'une partie FF d'un espace vectoriel de référence est un sous-espace vectoriel.

Le principe

Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel et F⊂EF \subset E ; alors FF est un sous-espace vectoriel de EE si et seulement si 0E∈F0_E \in F et ∀(u,v)∈F2, ∀(λ,μ)∈R2, λu+μv∈F\forall (u,v) \in F^2,\ \forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2,\ \lambda u + \mu v \in F.

La méthode
  1. 1
    J'identifie l'espace de référence EE (Rn\mathbb{R}^n, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) ou Rn[X]\mathbb{R}_n[X]) et je vérifie l'inclusion F⊂EF \subset E.
  2. 2
    Je vérifie que le vecteur nul 0E0_E appartient à FF, ce qui prouve que FF est non vide.
  3. 3
    Je prends u,v∈Fu, v \in F et λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R} quelconques, puis je montre que λu+μv\lambda u + \mu v vérifie la définition de FF.
  4. 4
    Je conclus : FF est un sous-espace vectoriel de EE.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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