Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$

L'objectif

Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et discuter la pertinence d'un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

Le principe

Pour deux séries $x$ et $y$ d'écarts-types $s_x>0$ et $s_y>0$ , $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}\in[-1,1]$ ; $|r_{xy}|=1$ équivaut à l'alignement parfait du nuage sur une droite (croissante si $r_{xy}=1$ , décroissante si $r_{xy}=-1$ ).

La méthode

1
Je calcule la covariance $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$ et les variances $s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2$ , $s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar{y}^2$ par Koenig-Huygens.
Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?Voir
2
Je vérifie que $s_x>0$ et $s_y>0$ , puis je calcule $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ .
3
J'interprète : si $|r_{xy}|$ est proche de $1$ ( $\ge 0{,}9$ par exemple) l'ajustement linéaire est pertinent, si $|r_{xy}|$ est proche de $0$ il n'y a pas de relation affine, et le signe de $r_{xy}$ indique le sens de la liaison.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant rxy=sxysxsyr_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}rxy​=sx​sy​sxy​​ et en interprétant sa valeur dans [−1,1][-1,1][−1,1]

Exemple corrigé

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$