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Accueil › Méthodes › Cinquième

Méthodes de mathématiques — Cinquième

15 chapitres, 76 questions types et 76 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Opérations et divisibilité

Comment appliquer les priorités opératoires dans un calcul ?
- En appliquant l'ordre parenthèses → puissances → ×÷ → +−, de gauche à droite
Comment traduire un programme de calcul en une expression avec parenthèses ?
- En traduisant chaque opération du programme en ajoutant les parenthèses nécessaires
Comment utiliser la distributivité simple pour calculer ?
- En développant ou factorisant via $k(a \pm b) = ka \pm kb$
Comment vérifier si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ?
- En appliquant le critère de divisibilité adapté au diviseur testé
Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?
- En divisant successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7... jusqu'à obtenir 1
Comment effectuer une division euclidienne et interpréter le résultat ?
- En posant la division et en identifiant $a = q \times b + r$ avec $0 \leq r < b$
Comment résoudre un problème faisant intervenir multiples et diviseurs ?
- En modélisant avec la division euclidienne $a = q \times b + r$ et en interprétant le quotient et le reste selon la question

Nombres relatifs

Comment placer un nombre relatif sur une droite graduée ?
- En repérant la direction (signe) et la distance à 0 (valeur absolue) sur la graduation
Comment comparer et ranger des nombres décimaux relatifs ?
- En utilisant la position sur la droite graduée : tout négatif est inférieur à tout positif ; entre deux négatifs, le plus grand en valeur absolue est le plus petit
Comment additionner deux nombres relatifs ?
- En appliquant la règle des signes : même signe → on additionne les valeurs absolues et on garde le signe ; signes différents → on soustrait les valeurs absolues et on prend le signe du terme de plus grande valeur absolue
Comment soustraire deux nombres relatifs ?
- En remplaçant la soustraction par l'addition de l'opposé : $a - b = a + (-b)$ , puis en appliquant la règle d'addition
Comment simplifier une somme comportant des parenthèses avec des nombres relatifs ?
- En supprimant les parenthèses selon le signe qui précède : + devant → on garde les signes intérieurs ; − devant → on inverse tous les signes intérieurs, puis on calcule
Comment résoudre un problème faisant intervenir des nombres relatifs ?
- En modélisant la situation par une expression avec des relatifs (variation de température, altitude, solde de compte…), puis en calculant

Fractions et nombres rationnels

Comment reconnaître si deux fractions sont égales ?
- En simplifiant chaque fraction jusqu'à sa forme irréductible (ou en vérifiant le produit en croix)
Comment simplifier une fraction ?
- En divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun (obtenu par décomposition en facteurs premiers)
Comment comparer ou ranger des fractions ?
- En réduisant au même dénominateur (multiple commun des dénominateurs), puis en comparant les numérateurs
Comment décomposer une fraction en somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 ?
- En effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : $\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}$ où $q$ est le quotient et $r$ le reste
Comment additionner ou soustraire des fractions ?
- En cherchant un dénominateur commun (multiple des deux dénominateurs), en réécrivant chaque fraction, puis en additionnant ou soustrayant les numérateurs
Comment convertir entre écriture fractionnaire, décimale et pourcentage ?
- En divisant le numérateur par le dénominateur pour obtenir le décimal, puis en multipliant par 100 pour le pourcentage (ou en utilisant une fraction de dénominateur 100)

Puissances

Comment calculer le carré ou le cube d'un nombre ?
- En écrivant le produit itéré ( $a^2 = a \times a$ , $a^3 = a \times a \times a$ ) et en effectuant la multiplication
Comment écrire un nombre entier sous forme d'une puissance 2 ou 3 ?
- En reconnaissant que le nombre est un produit itéré d'un même facteur, puis en notant ce facteur avec l'exposant correspondant
Comment calculer la valeur d'une expression contenant des puissances ?
- En remplaçant d'abord chaque puissance par sa valeur numérique, puis en appliquant les priorités opératoires (parenthèses → puissances → ×÷ → +−)

Calcul littéral et équations

Comment simplifier l'écriture d'une expression littérale ?
- En supprimant les signes × superflus et en condensant les notations ( $3 \times x = 3x$ , $x \times x = x^2$ , $a \times b = ab$ )
Comment calculer la valeur d'une expression littérale par substitution ?
- En remplaçant chaque lettre par sa valeur numérique dans l'expression, puis en calculant en respectant les priorités opératoires
Comment réduire une expression de la forme $ax + bx$ ?
- En factorisant par $x$ : $ax + bx = (a+b)x$ , ce qui regroupe les termes semblables
Comment développer ou factoriser à l'aide de la distributivité simple ?
- En appliquant $k(a \pm b) = ka \pm kb$ pour développer (en distribuant $k$ ), ou en identifiant le facteur commun pour factoriser
Comment démontrer une propriété générale par le calcul littéral ?
- En représentant les nombres par des lettres ( $n$ pour un entier, $2n$ pour un pair), en écrivant l'expression générale et en simplifiant algébriquement
Comment modéliser un problème par une équation ?
- En désignant le nombre cherché par $x$ , en traduisant les conditions de l'énoncé en une équation du type $ax = c$ ou $x + b = c$
Comment résoudre une équation du type $x + b = c$ ?
- En soustrayant $b$ des deux membres de l'égalité pour isoler $x$ : $x = c - b$ , puis en vérifiant par substitution
Comment résoudre une équation du type $ax = c$ ?
- En divisant les deux membres de l'égalité par $a$ pour isoler $x$ : $x = c \div a$ , puis en vérifiant par substitution

Repérage sur une droite et dans le plan

Comment lire ou placer un point sur une droite graduée avec des nombres relatifs ?
- En identifiant l'unité de la graduation, puis en comptant depuis 0 dans la direction positive (droite) ou négative (gauche) selon le signe de l'abscisse
Comment lire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal ?
- En lisant d'abord l'abscisse (projection sur l'axe horizontal) puis l'ordonnée (projection sur l'axe vertical), les deux pouvant être des nombres relatifs
Comment placer un point de coordonnées données dans un repère orthogonal ?
- En partant de l'origine, en se déplaçant horizontalement de la valeur de l'abscisse, puis verticalement de la valeur de l'ordonnée
Comment trouver les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme ?
- En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : calculer le milieu de la diagonale connue, puis déduire le quatrième sommet symétrique au sommet opposé par rapport à ce milieu

Représentation de l'espace et volumes

Comment construire la représentation en perspective cavalière d'un solide ?
- En dessinant d'abord les faces frontales en vraie grandeur, puis les arêtes de profondeur à 45° et moitié moins longues, en représentant les arêtes cachées en pointillés
Comment construire le patron d'un solide (pavé ou cylindre) ?
- En dépliant mentalement le solide face par face, en traçant toutes les faces en vraie grandeur sur le même plan, en vérifiant que les bords partagés ont la même longueur
Comment calculer le volume d'un pavé droit ou d'un cube ?
- En appliquant $V = l \times L \times h$ pour le pavé (longueur × largeur × hauteur), ou $V = a^3$ pour le cube de côté $a$
Comment calculer le volume d'un prisme droit ?
- En calculant l'aire de la base (triangle, rectangle, trapèze...) puis en multipliant par la hauteur du prisme : $V = \mathcal{A}_{\mathrm{base}} \times h$
Comment calculer l'aire d'un disque et le volume d'un cylindre ?
- En appliquant $A = \pi r^2$ pour l'aire du disque de rayon $r$ , et $V = \pi r^2 \times h$ pour le volume du cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$
Comment convertir des unités de volume et de contenance ?
- En utilisant le tableau des unités (chaque rang représente un facteur 1000) et la correspondance $1\,\mathrm{L} = 1\,\mathrm{dm}^3$ , $1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm}^3$

Symétrie centrale (demi-tour)

Comment construire le symétrique d'un point par rapport à un centre ?
- En traçant le segment [OA] et en construisant A' tel que O est le milieu de [AA'] (avec le compas ou la règle graduée)
Comment construire le symétrique d'une figure par symétrie centrale ?
- En construisant le symétrique de chaque point caractéristique de la figure par rapport au centre, puis en reliant les images dans le même ordre
Comment utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale ?
- En appliquant la conservation des longueurs, des angles et du parallélisme pour déduire des égalités de distances ou prouver que des droites sont parallèles
Comment identifier une symétrie centrale dans une figure ?
- En cherchant un point O tel que chaque point de la figure a un symétrique dans la figure par rapport à O (la figure est invariante par demi-tour de centre O)

Angles et parallélisme

Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?
- En repérant la sécante et en localisant les paires d'angles selon leur position par rapport aux deux droites
Comment démontrer que deux droites sont parallèles grâce aux angles ?
- En montrant que deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, puis en concluant par la propriété caractéristique du parallélisme
Comment calculer un angle inconnu dans une figure avec des droites parallèles ?
- En identifiant les droites parallèles et la sécante, puis en utilisant l'égalité des angles alternes-internes ou correspondants pour déduire l'angle cherché

Triangles

Comment calculer le troisième angle d'un triangle connaissant les deux autres ?
- En utilisant la propriété que la somme des trois angles est 180° : $\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}$
Comment démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° ?
- En traçant par un sommet la parallèle au côté opposé, puis en utilisant l'égalité des angles alternes-internes pour montrer que les trois angles se reconstituent en un angle plat
Comment construire un triangle à partir de données partielles ?
- En choisissant la technique adaptée aux données fournies : LLL (trois côtés, compas), LAL (deux côtés et l'angle compris, règle + rapporteur), ALA (deux angles et le côté commun)
Comment tracer les médiatrices d'un triangle et trouver le cercle circonscrit ?
- En construisant la médiatrice de chaque côté (perpendiculaire au milieu du côté, à la règle et au compas), puis en prenant leur point de concours comme centre du cercle circonscrit
Comment tracer les hauteurs d'un triangle ?
- En abaissant depuis chaque sommet la perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement pour un triangle obtusangle), en utilisant l'équerre
Comment calculer l'aire d'un triangle ?
- En identifiant une base et la hauteur correspondante (perpendiculaire à cette base), puis en appliquant $A = \frac{\mathrm{base} \times \mathrm{hauteur}}{2}$
Comment vérifier qu'un triangle peut exister avec des longueurs données ?
- En vérifiant l'inégalité triangulaire pour chaque côté : chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres

Parallélogrammes

Comment reconnaître et définir un parallélogramme ?
- En vérifiant l'une des propriétés caractéristiques : côtés opposés parallèles deux à deux, OU côtés opposés égaux deux à deux, OU diagonales se coupant en leur milieu
Comment construire un parallélogramme à partir de données partielles ?
- En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : tracer les deux diagonales se croisant en leur milieu commun, puis relier les extrémités
Comment reconnaître un rectangle, un losange ou un carré ?
- En vérifiant les propriétés supplémentaires par rapport au parallélogramme : angles droits → rectangle ; tous les côtés égaux → losange ; les deux conditions réunies → carré
Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ?
- En identifiant une base et la hauteur correspondante, puis en appliquant $A = \mathrm{base} \times \mathrm{hauteur}$
Comment calculer l'aire d'une figure complexe ?
- En décomposant la figure en figures simples, en calculant l'aire de chacune, puis en additionnant ou soustrayant selon la configuration

Statistiques

Comment organiser des données brutes dans un tableau d'effectifs ?
- En listant les valeurs distinctes, en pointant les occurrences et en vérifiant la somme des effectifs
Comment calculer les effectifs et les fréquences d'une série statistique ?
- En divisant l'effectif de chaque valeur par l'effectif total pour obtenir la fréquence, puis en la convertissant en fraction, décimal ou pourcentage
Comment construire un diagramme en bâtons ou un diagramme circulaire ?
- En traçant des bâtons de hauteur proportionnelle à l'effectif ou en calculant l'angle de chaque secteur ( $f_i \times 360°$ ) pour le diagramme circulaire
Comment calculer la moyenne d'une série de données ?
- En additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre total de valeurs

Probabilités

Comment placer un événement sur une échelle de probabilité ?
- En raisonnant sur la vraisemblance de l'événement : 0 si impossible, 1 si certain, $\frac{1}{2}$ si autant de chances que le contraire, et en plaçant les autres événements de façon relative sur l'échelle
Comment calculer la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité ?
- En listant toutes les issues possibles (également probables), en repérant celles qui réalisent l'événement, puis en appliquant $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Proportionnalité

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
- En vérifiant que le rapport entre les valeurs correspondantes est constant (même quotient partout dans le tableau), ou graphiquement que les points sont alignés et que la droite passe par l'origine
Comment résoudre un problème de proportionnalité par le passage à l'unité ?
- En calculant d'abord la valeur correspondant à 1 unité (en divisant par la quantité de référence), puis en multipliant par la quantité souhaitée
Comment résoudre un problème de proportionnalité par la linéarité ?
- En utilisant la propriété d'additivité ( $f(a+b) = f(a) + f(b)$ ) ou d'homogénéité ( $f(ka) = k \cdot f(a)$ ) pour déduire de nouvelles valeurs à partir de valeurs connues
Comment calculer un pourcentage d'une quantité ?
- En multipliant la quantité par $\frac{p}{100}$ (ou par le coefficient décimal $0{,}01p$ ) pour obtenir $p\%$ de cette quantité
Comment utiliser une échelle pour calculer une distance ?
- En identifiant l'échelle $\frac{1}{n}$ (ou $1:\!n$ ), puis en multipliant la mesure sur la carte par $n$ pour obtenir la distance réelle (ou en divisant la distance réelle par $n$ pour obtenir la mesure sur la carte)
Comment partager une quantité selon un ratio donné ?
- En calculant la valeur d'une 'part' (total divisé par la somme des termes du ratio), puis en multipliant par chaque terme du ratio pour obtenir chaque part

Fonctions — introduction

Comment construire un tableau de valeurs à partir d'une formule ?
- En choisissant des valeurs pour la variable, en substituant chacune dans la formule et en notant les résultats dans un tableau à deux lignes
Comment produire une formule exprimant la dépendance entre deux grandeurs ?
- En identifiant la grandeur qui dépend de l'autre, en cherchant la règle de calcul dans des exemples numériques, puis en l'écrivant avec une lettre
Comment représenter graphiquement une relation entre deux grandeurs ?
- En construisant le tableau de valeurs, puis en plaçant chaque paire $(x ; y)$ comme un point dans un repère orthogonal, et en reliant les points si la relation est continue
Comment lire et interpréter un graphique cartésien ?
- En lisant les coordonnées des points remarquables, en identifiant les tendances et en répondant aux questions posées à partir du graphique
Comment reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité ?
- En vérifiant que les points du nuage sont alignés ET que la droite ainsi formée passe par l'origine du repère

Les autres niveaux

Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées