En vérifiant les propriétés supplémentaires par rapport au parallélogramme : angles droits → rectangle ; tous les côtés égaux → losange ; les deux conditions réunies → carré

Déterminer si un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré en vérifiant ses propriétés spécifiques.

L'objectif

Déterminer si un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré en vérifiant ses propriétés spécifiques.

Le principe

Un parallélogramme est un rectangle s'il a un angle droit ; un losange si ses quatre côtés sont égaux ; un carré si c'est à la fois un rectangle et un losange (angles droits ET quatre côtés égaux).

La méthode

1
Vérifier d'abord que la figure est bien un parallélogramme (côtés opposés parallèles et égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu).
2
Vérifier si tous les côtés sont égaux : si $AB = BC = CD = DA$ , alors c'est un losange (ou un carré si la condition suivante est aussi vérifiée).
3
Vérifier si le parallélogramme possède un angle droit (équerre, mesure d'angle ou diagonales égales) : si oui, c'est un rectangle (ou un carré si la condition précédente est aussi vérifiée).
4
Conclure : rectangle si angles droits seulement, losange si côtés égaux seulement, carré si les deux conditions sont réunies, parallélogramme quelconque sinon.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le parallélogramme $ABCD$ a $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ et $\angle DAB = 90°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[5,3],[0,3]],"color":"blue","label":"ABCD"}]}

Étape 1 —

Vérifier d'abord que la figure est bien un parallélogramme (côtés opposés parallèles et égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu).

C'est un parallélogramme (donné).

Étape 2 —

Vérifier si tous les côtés sont égaux : si

AB = BC = CD = DA

, alors c'est un losange (ou un carré si la condition suivante est aussi vérifiée).

On vérifie les longueurs : $AB = 5\,\mathrm{cm} \neq BC = 3\,\mathrm{cm}$ , donc les quatre côtés ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un losange.

Étape 3 —

Vérifier si le parallélogramme possède un angle droit (équerre, mesure d'angle ou diagonales égales) : si oui, c'est un rectangle (ou un carré si la condition précédente est aussi vérifiée).

On vérifie les angles : $\angle DAB = 90°$ , donc il possède un angle droit : c'est un rectangle.

Étape 4 —

Conclure : rectangle si angles droits seulement, losange si côtés égaux seulement, carré si les deux conditions sont réunies, parallélogramme quelconque sinon.

Angles droits mais côtés non tous égaux : c'est un rectangle.

$ABCD$ est un rectangle.

Application guidée

Le parallélogramme $EFGH$ a $EF = FG = GH = HE = 4\,\mathrm{cm}$ et $\angle EFG = 70°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[5.4,3.76],[1.4,3.76]],"color":"green","label":"EFGH"}]}

Application autonome 1

Le parallélogramme $IJKL$ a $IJ = JK = KL = LI = 5\,\mathrm{cm}$ et $\angle IJK = 90°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[5,0],[5,5],[0,5]],"color":"purple","label":"IJKL"}]}

Application autonome 2

Un parallélogramme $PQRS$ a $PQ = 6\,\mathrm{cm}$ , $QR = 4\,\mathrm{cm}$ , $\angle PQR = 75°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[6,0],[7.04,3.86],[1.04,3.86]],"color":"orange","label":"PQRS"}]}

Application autonome 3

Les diagonales d'un parallélogramme $ABCD$ mesurent $AC = 8\,\mathrm{cm}$ et $BD = 8\,\mathrm{cm}$ , et $AB = BC$ . Quelle est la nature de $ABCD$ ?

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[4,4],[0,4]],"color":"purple","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[4,4]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[4,0],[0,4]],"color":"gray"}]}

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