En vérifiant les propriétés supplémentaires par rapport au parallélogramme : angles droits → rectangle ; tous les côtés égaux → losange ; les deux conditions réunies → carré

Déterminer si un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré en vérifiant ses propriétés spécifiques.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le parallélogramme $ABCD$ a $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ et $\angle DAB = 90°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
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L'objectif

Déterminer si un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré en vérifiant ses propriétés spécifiques.

Le principe

Un parallélogramme est un rectangle s'il a un angle droit ; un losange si ses quatre côtés sont égaux ; un carré si c'est à la fois un rectangle et un losange (angles droits ET quatre côtés égaux).

La méthode

1
Vérifier d'abord que la figure est bien un parallélogramme (côtés opposés parallèles et égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu).
2
Vérifier si tous les côtés sont égaux : si $AB = BC = CD = DA$ , alors c'est un losange (ou un carré si la condition suivante est aussi vérifiée).
3
Vérifier si le parallélogramme possède un angle droit (équerre, mesure d'angle ou diagonales égales) : si oui, c'est un rectangle (ou un carré si la condition précédente est aussi vérifiée).
4
Conclure : rectangle si angles droits seulement, losange si côtés égaux seulement, carré si les deux conditions sont réunies, parallélogramme quelconque sinon.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le parallélogramme $ABCD$ a $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ et $\angle DAB = 90°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
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Étape 1 —

Vérifier d'abord que la figure est bien un parallélogramme (côtés opposés parallèles et égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu).

C'est un parallélogramme (donné).

Étape 2 —

Vérifier si tous les côtés sont égaux : si

AB = BC = CD = DA

, alors c'est un losange (ou un carré si la condition suivante est aussi vérifiée).

On vérifie les longueurs : $AB = 5\,\mathrm{cm} \neq BC = 3\,\mathrm{cm}$ , donc les quatre côtés ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un losange.

Étape 3 —

Vérifier si le parallélogramme possède un angle droit (équerre, mesure d'angle ou diagonales égales) : si oui, c'est un rectangle (ou un carré si la condition précédente est aussi vérifiée).

On vérifie les angles : $\angle DAB = 90°$ , donc il possède un angle droit : c'est un rectangle.

Étape 4 —

Conclure : rectangle si angles droits seulement, losange si côtés égaux seulement, carré si les deux conditions sont réunies, parallélogramme quelconque sinon.

Angles droits mais côtés non tous égaux : c'est un rectangle.

$ABCD$ est un rectangle.

Application guidée

Le parallélogramme $EFGH$ a $EF = FG = GH = HE = 4\,\mathrm{cm}$ et $\angle EFG = 70°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 1

Le parallélogramme $IJKL$ a $IJ = JK = KL = LI = 5\,\mathrm{cm}$ et $\angle IJK = 90°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 2

Un parallélogramme $PQRS$ a $PQ = 6\,\mathrm{cm}$ , $QR = 4\,\mathrm{cm}$ , $\angle PQR = 75°$ . Quelle est sa nature précise ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 3

Les diagonales d'un parallélogramme $ABCD$ mesurent $AC = 8\,\mathrm{cm}$ et $BD = 8\,\mathrm{cm}$ , et $AB = BC$ . Quelle est la nature de $ABCD$ ?

[Graphique invalide]
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