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Accueil › Méthodes › Quatrième

Méthodes de mathématiques — Quatrième

13 chapitres, 64 questions types et 69 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Opérations sur les nombres relatifs

Comment multiplier deux nombres relatifs ?
- En déterminant d'abord le signe du résultat (mêmes signes → positif ; signes opposés → négatif), puis en multipliant les valeurs absolues
- En utilisant la distributivité pour multiplier quand un seul facteur est négatif, puis généraliser aux deux facteurs négatifs
Comment diviser deux nombres relatifs ?
- En appliquant la même règle de signe que pour la multiplication, puis en divisant les valeurs absolues
Comment déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient sans effectuer le calcul ?
- En comptant le nombre de facteurs négatifs : pair → résultat positif ; impair → résultat négatif
Comment calculer un enchaînement d'opérations avec des nombres relatifs ?
- En respectant les priorités opératoires (parenthèses → × et ÷ → + et −) et en appliquant les règles de signe à chaque étape

Fractions (nombres rationnels)

Comment simplifier une fraction ?
- En divisant numérateur et dénominateur par un diviseur commun, répété jusqu'à irréductibilité
- En décomposant numérateur et dénominateur en produit de facteurs premiers pour identifier directement tous les facteurs communs
Comment multiplier deux fractions ?
- En multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis en simplifiant le résultat
Comment calculer l'inverse d'un nombre ou d'une fraction ?
- En échangeant numérateur et dénominateur (inverser la fraction) ; pour un entier $a$ , l'inverse est $\frac{1}{a}$
Comment diviser deux fractions ?
- En multipliant la première fraction par l'inverse de la seconde
Comment additionner ou soustraire des fractions ?
- En réduisant au même dénominateur (trouver un dénominateur commun), puis en additionnant ou soustrayant les numérateurs
Comment calculer la fraction d'une quantité ?
- En multipliant la quantité par la fraction : $\frac{a}{b}$ de $N = \frac{a \times N}{b}$
Comment résoudre un problème mêlant plusieurs opérations sur les fractions ?
- En identifiant les opérations à enchaîner dans l'ordre, en les appliquant avec les règles appropriées, puis en interprétant le résultat dans le contexte

Puissances

Comment calculer une puissance d'un nombre ?
- En écrivant la puissance comme un produit répété ( $a^n = a \times a \times \cdots$ , $n$ fois), puis en calculant
Comment multiplier des puissances de même base ?
- En appliquant la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : on additionne les exposants
Comment multiplier des puissances de même exposant (bases différentes) ?
- En appliquant la règle $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ : on multiplie les bases
Comment simplifier une expression avec des puissances ?
- En identifiant si les puissances ont la même base ou le même exposant, puis en appliquant la règle correspondante successivement

Racine carrée

Comment reconnaître ou calculer la racine carrée d'un nombre ?
- En cherchant le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné ( $\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a,\, b \geq 0$ ), en s'aidant des carrés parfaits de 1 à 144
- En utilisant la calculatrice pour obtenir une valeur décimale approchée de la racine carrée
Comment encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs ?
- En trouvant les deux entiers $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en déduisant $n \leq \sqrt{a} < n+1$
Comment utiliser la racine carrée dans une situation géométrique ?
- En appliquant le théorème de Pythagore pour exprimer une longueur sous forme de racine carrée, puis en calculant sa valeur exacte ou une valeur approchée

Calcul littéral et équations

Comment développer une expression algébrique ?
- En appliquant la distributivité simple $k(a+b) = ka + kb$ , en multipliant chaque terme de la parenthèse par le facteur extérieur
Comment factoriser une expression algébrique ?
- En repérant le facteur commun à tous les termes, puis en le mettant en évidence devant une parenthèse : $ka + kb = k(a+b)$
Comment réduire une expression algébrique ?
- En regroupant et en additionnant les termes semblables (même partie littérale)
Comment vérifier si un nombre est solution d'une équation ?
- En substituant la valeur à la place de l'inconnue dans les deux membres de l'équation, puis en vérifiant si l'égalité est vraie
Comment résoudre une équation $ax + b = c$ ?
- En effectuant des opérations inverses pour isoler $x$ : faire passer $b$ de l'autre côté (changer le signe), puis diviser les deux membres par $a$
Comment résoudre une équation avec $x$ des deux côtés $ax + b = cx + d$ ?
- En regroupant tous les termes en $x$ d'un côté et tous les nombres de l'autre, puis en résolvant l'équation obtenue
Comment mettre en équation un problème et le résoudre ?
- En choisissant une lettre pour représenter l'inconnue, en traduisant les conditions du problème par une équation, en la résolvant, puis en vérifiant la cohérence de la solution

Translation et parallélogrammes

Comment construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation ?
- En appliquant le vecteur de translation à chaque point de la figure : déplacer chaque point du même décalage horizontal et vertical
- En utilisant la propriété du parallélogramme : $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ si et seulement si $ABB'A'$ est un parallélogramme
Comment utiliser les propriétés de conservation d'une translation ?
- En appliquant que la translation conserve les longueurs, les angles et le parallélisme pour déduire des égalités de longueurs, d'angles, ou des relations de parallélisme entre droites
Comment reconnaître ou construire un parallélogramme à l'aide d'une translation ?
- En vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par la même translation (c'est-à-dire que le quadrilatère a des côtés opposés parallèles et de même longueur)
Comment démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide d'une translation ?
- En montrant que l'une est l'image de l'autre par une translation, puis en concluant qu'elles sont parallèles par conservation du parallélisme

Solides : pyramide et cône

Comment reconnaître et décrire une pyramide ou un cône de révolution ?
- En identifiant la base (polygone pour la pyramide, disque pour le cône), le sommet (apex), les faces latérales et la hauteur (perpendiculaire du sommet à la base)
Comment construire le patron d'une pyramide ?
- En dessinant la base polygonale au centre, puis en ajoutant chaque face triangulaire latérale autour de la base en respectant les dimensions (côté commun avec la base, longueur des arêtes latérales)
Comment calculer le volume d'une pyramide ?
- En appliquant la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\mathrm{base}} \times h$ , où $\mathcal{A}_{\mathrm{base}}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur
Comment calculer le volume d'un cône de révolution ?
- En appliquant la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$ , où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur

Triangles (droite des milieux, Pythagore, cosinus)

Comment utiliser le théorème de la droite des milieux (sens direct) ?
- En vérifiant que $M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle, puis en concluant que $MN \parallel$ au troisième côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ ce côté
Comment utiliser la réciproque de la droite des milieux ?
- En vérifiant que $M$ est le milieu d'un côté et que $MN \parallel$ au côté opposé, puis en concluant que $N$ est le milieu du second côté et $MN = \frac{1}{2} \times$ le côté opposé
Comment utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur ?
- En identifiant l'angle droit et l'hypoténuse dans le triangle rectangle, en appliquant $\mathrm{hyp}^2 = \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}}_1^2 + \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}}_2^2$ , puis en prenant la racine carrée
Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?
- En calculant le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés ; si ces deux valeurs sont égales, le triangle est rectangle en l'angle opposé au plus grand côté
Comment utiliser la contraposée du théorème de Pythagore ?
- En vérifiant que le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres ( $a^2 \neq b^2 + c^2$ ), pour conclure que le triangle n'est pas rectangle
Comment utiliser le cosinus pour calculer un côté d'un triangle rectangle ?
- En identifiant l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse, puis en appliquant $\cos \widehat{A} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ pour isoler le côté cherché : $\mathrm{adj} = \mathrm{hyp} \times \cos \widehat{A}$ ou $\mathrm{hyp} = \dfrac{\mathrm{adj}}{\cos \widehat{A}}$
Comment utiliser le cosinus pour calculer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle ?
- En calculant le rapport $\dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ , puis en utilisant la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice pour obtenir la mesure de l'angle en degrés
Comment caractériser un triangle rectangle par son cercle circonscrit ?
- En utilisant la propriété : un triangle est rectangle si et seulement si l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit (le centre est le milieu de l'hypoténuse)

Statistiques

Comment calculer la moyenne pondérée d'une série statistique ?
- En multipliant chaque valeur par son effectif, en additionnant ces produits, puis en divisant par l'effectif total : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
Comment déterminer la médiane d'une série statistique ?
- En rangeant les valeurs dans l'ordre croissant, puis en prenant la valeur centrale si l'effectif est impair, ou la moyenne des deux valeurs centrales si l'effectif est pair
Comment calculer l'étendue d'une série statistique ?
- En soustrayant la valeur minimale de la valeur maximale : étendue $= x_{\mathrm{max}} - x_{\mathrm{min}}$
Comment comparer deux séries statistiques à l'aide de leurs indicateurs ?
- En calculant et comparant la moyenne, la médiane et l'étendue des deux séries, puis en interprétant les différences en termes de position (niveau moyen) et de dispersion (variabilité)
Comment lire et construire un diagramme circulaire ?
- En calculant la fréquence de chaque valeur ou catégorie, en convertissant chaque fréquence en angle (angle $= \text{fréquence} \times 360°$ ), puis en traçant les secteurs à l'aide d'un rapporteur

Probabilités

Comment décrire une expérience aléatoire et lister ses issues ?
- En décrivant clairement l'expérience, en listant de façon exhaustive toutes les issues possibles qui forment l'univers $\Omega$ , et en identifiant les événements d'intérêt
Comment calculer la probabilité d'un événement dans un cas d'équiprobabilité ?
- En listant les issues favorables à l'événement, puis en appliquant $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$
Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?
- En appliquant la relation $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ : la probabilité que l'événement ne se réalise pas est égale à 1 moins la probabilité qu'il se réalise
Comment décrire et calculer la probabilité d'une réunion ou d'une intersection d'événements ?
- En identifiant les issues appartenant à $A \cup B$ (au moins l'un des deux) ou à $A \cap B$ (les deux simultanément), puis en calculant leur probabilité par équiprobabilité

Proportionnalité

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
- En vérifiant dans un tableau que le quotient $\frac{y}{x}$ est constant (coefficient de proportionnalité), ou sur un graphique que les points sont alignés avec l'origine
Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
- En utilisant le retour à l'unité : diviser par la valeur connue pour trouver la valeur unitaire, puis multiplier par la valeur cherchée
- En utilisant le produit en croix : si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ alors $d = \frac{b \times c}{a}$
Comment calculer un pourcentage d'une quantité ?
- En multipliant la quantité par le taux sous forme décimale : $a\,\%$ de $N = \frac{a}{100} \times N$
Comment appliquer une augmentation ou une diminution exprimée en pourcentage avec un coefficient multiplicateur ?
- En calculant le coefficient multiplicateur ( $1 + \frac{t}{100}$ pour une hausse de $t\,\%$ , $1 - \frac{t}{100}$ pour une baisse), puis en multipliant la valeur initiale par ce coefficient
Comment calculer avec une grandeur quotient (vitesse, débit, densité...) ?
- En appliquant la formule de la grandeur quotient (ex : $v = \frac{d}{t}$ ), en identifiant la grandeur inconnue, puis en isolant et calculant
Comment résoudre un problème de partage proportionnel ?
- En calculant la valeur d'une part unitaire (total ÷ somme des coefficients du partage), puis en multipliant par le coefficient de chaque participant

Fonctions

Comment appliquer un programme de calcul à un nombre puis à une variable ?
- En effectuant les opérations successivement sur un nombre donné pour vérifier, puis en remplaçant ce nombre par une lettre $x$ et en simplifiant pour obtenir la formule algébrique
Comment remonter un programme de calcul pour trouver le nombre de départ ?
- En identifiant les opérations du programme, puis en les appliquant dans l'ordre inverse avec les opérations inverses, à partir du résultat connu
Comment produire une formule littérale liant deux grandeurs ?
- En nommant la variable (la grandeur qui varie), en exprimant l'autre grandeur en fonction de celle-ci à partir des relations du problème, et en simplifiant la formule obtenue
Comment construire le graphique d'une dépendance entre deux grandeurs ?
- En calculant un tableau de valeurs pour plusieurs valeurs de la variable, en plaçant les points correspondants dans un repère orthogonal, puis en les reliant par une courbe régulière
Comment lire et interpréter un graphique de dépendance ?
- En partant d'une valeur sur l'axe des abscisses pour lire l'image (aller vers la courbe puis vers l'axe des ordonnées), ou d'une valeur sur l'axe des ordonnées pour lire l'antécédent (dans le sens inverse)

Algorithmique

Comment utiliser une variable dans un programme ?
- En déclarant une variable avec un nom explicite, en lui affectant une valeur (saisie par l'utilisateur ou résultat d'un calcul), puis en l'utilisant dans les instructions suivantes du programme
Comment écrire une instruction conditionnelle dans un programme ?
- En utilisant la structure « Si [condition] Alors [instructions A] Sinon [instructions B] Fin Si », en précisant la condition de test et les instructions à exécuter dans chaque cas
Comment écrire un programme simple pour résoudre un problème mathématique ?
- En décomposant le problème en étapes successives (entrée des données → traitement/calcul → affichage du résultat), en utilisant des variables pour stocker les valeurs intermédiaires

Les autres niveaux

Cinquième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées