En utilisant la distributivité pour multiplier quand un seul facteur est négatif, puis généraliser aux deux facteurs négatifs

Comprendre d'où vient la règle des signes en s'appuyant sur la distributivité.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Comprendre d'où vient la règle des signes en s'appuyant sur la distributivité.

Le principe

La distributivité de la multiplication sur l'addition permet de justifier que le produit de deux négatifs est positif.

La méthode

1
Rappelle-toi que $(-a) = 0 - a$ , donc multiplier par $(-a)$ revient à multiplier par $(0 - a)$ .
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Applique la distributivité : $b \times (-a) = b \times (0 - a) = b \times 0 - b \times a = -b \times a$ . Ainsi un facteur négatif change le signe.
3
Pour deux facteurs négatifs, applique deux fois la règle : $(-b) \times (-a) = -(b \times (-a)) = -(- b \times a) = b \times a$ . Le résultat est donc positif.
4
Utilise ce raisonnement pour calculer : détermine d'abord le signe global, puis calcule le produit des valeurs absolues.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Justifie et calcule $3 \times (-4)$ en utilisant la distributivité.

Étape 1 —

Rappelle-toi que

(-a) = 0 - a

, donc multiplier par

(-a)

revient à multiplier par

(0 - a)

$3 \times (-4) = 3 \times (0 - 4)$

Étape 2 —

Applique la distributivité :

b \times (-a) = b \times (0 - a) = b \times 0 - b \times a = -b \times a

. Ainsi un facteur négatif change le signe.

Par distributivité : $3 \times 0 - 3 \times 4 = 0 - 12 = -12$ .

Étape 3 —

Pour deux facteurs négatifs, applique deux fois la règle :

(-b) \times (-a) = -(b \times (-a)) = -(- b \times a) = b \times a

. Le résultat est donc positif.

Un seul facteur négatif : le résultat est bien négatif, ce qui confirme $3 \times (-4) < 0$ .

Étape 4 —

Utilise ce raisonnement pour calculer : détermine d'abord le signe global, puis calcule le produit des valeurs absolues.

On écrit le résultat : $3 \times (-4) = -12$ .

$3 \times (-4) = -12$

Application guidée

Justifie et calcule $(-5) \times (-6)$ en utilisant la distributivité.

Application autonome 1

Calcule $(-2) \times 7$ en justifiant le signe.

Application autonome 2

Démontre et calcule $(-8) \times 4$ en utilisant la distributivité.

Application autonome 3

Retrouve la règle des signes pour calculer $(-7) \times (-3)$ .

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