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Accueil › Méthodes › Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes

Méthodes de mathématiques — Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes

18 chapitres, 109 questions types et 171 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Combinatoire et dénombrement

Comment choisir la méthode de dénombrement adaptée à une situation (liste, arrangement, combinaison) ?
- En représentant la situation par un arbre et en identifiant si l'ordre compte et si les répétitions sont autorisées
- En décomposant en sous-situations disjointes (principe additif) ou successives (principe multiplicatif)
Comment appliquer le principe additif pour compter les éléments d'une réunion disjointe ?
- En vérifiant que les ensembles sont deux à deux disjoints puis en sommant leurs cardinaux
Comment appliquer le principe multiplicatif pour compter les éléments d'un produit cartésien ?
- En identifiant les k choix successifs indépendants et en multipliant leurs nombres de possibilités
Comment calculer le nombre de k-uplets (listes ordonnées avec ou sans répétition) d'un ensemble à n éléments ?
- En appliquant $n^k$ pour les k-listes avec répétition (k-uplets de n éléments)
- En appliquant $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ pour les k-uplets sans répétition (arrangements)
Comment calculer le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments ?
- En appliquant la formule $n!$
Comment calculer le nombre de parties (sous-ensembles) d'un ensemble à n éléments ?
- En appliquant la formule $2^n$ (correspondance avec les n-uplets de $\{0,1\}$ )
Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?
Comment utiliser la relation de Pascal et le triangle de Pascal ?
- En construisant le triangle ligne par ligne pour lire des coefficients binomiaux
- En appliquant la relation de Pascal dans une preuve par récurrence ou une identité combinatoire
Comment démontrer une identité combinatoire ?
- En calculant algébriquement les deux membres avec les formules de factorielles
- En donnant un argument combinatoire (compter le même ensemble de deux façons différentes)
Comment raisonner par récurrence pour établir une propriété ?
- En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis en démontrant la propriété au rang $n+1$

Nombres complexes

Nombres complexes : Algèbre
Nombres complexes : Module, argument et formes
Nombres complexes : Équations polynomiales
Nombres complexes : Géométrie

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?
- En posant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées
- En exploitant les propriétés géométriques de la figure (milieu, parallélisme, relation de Chasles) pour identifier les coefficients directement
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?
- En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )
Comment reconnaître si des vecteurs forment une base d'un plan ou de l'espace ?
- En vérifiant que les vecteurs ne sont pas colinéaires (base d'un plan) ou non coplanaires (base de l'espace) par leurs coordonnées
Comment décomposer un vecteur dans une base donnée ?
- En résolvant le système $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ par identification des coordonnées
Comment étudier l'alignement ou la coplanarité de points ?
- En vérifiant que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires pour l'alignement de A, B, C
- En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D
Comment décrire la position relative de deux droites dans l'espace (parallèles, sécantes, gauches) ?
- En vérifiant si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles ou confondues), sinon en cherchant un éventuel point d'intersection (sécantes ou gauches)
Comment décrire la position relative d'une droite et d'un plan ?
- En vérifiant si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan (droite parallèle ou incluse), sinon en cherchant l'intersection (droite sécante)
Comment décrire la position relative de deux plans ?
- En vérifiant si les vecteurs normaux sont colinéaires (plans parallèles ou confondus), sinon les plans sont sécants selon une droite

Arithmétique

Arithmétique : Divisibilité et PGCD
Arithmétique : Théorèmes et applications

Orthogonalité et distances dans l'espace

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?
- En calculant leur produit scalaire et en montrant qu'il est nul
Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?
- En calculant le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et en montrant qu'il est nul
Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?
- En montrant que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan
- En identifiant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan
Comment calculer la distance entre deux points de l'espace ?
- En appliquant $d(A,B) = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?
- En utilisant $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?
- En paramétrant la droite, en exprimant que $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ , puis en résolvant pour trouver le paramètre $t$
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
- En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan
Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?
- En trouvant le projeté orthogonal $H$ du point sur la droite ou le plan, puis en calculant $d = \|\vec{M_0H}\|$
- Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ : en appliquant $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?
- En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$
- En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$ (base × hauteur ÷ 3)

Graphes et matrices

Graphes et matrices : Calcul matriciel
Graphes et matrices : Suites, chemins et chaînes de Markov

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite de l'espace ?
- En identifiant un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ , puis en écrivant le système $\{x = x_A + t\,u_x,\; y = y_A + t\,u_y,\; z = z_A + t\,u_z\}$ , $t \in \mathbb{R}$
Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?
- En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?
- En identifiant un vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ et un point $A$ , puis en écrivant $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?
- En lisant directement les coefficients $(a,b,c)$ de l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$
- En cherchant un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (résolution d'un système de deux équations)
Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
- En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan
Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite ?
- En paramétrant la droite, en exprimant $\vec{M_0H}\cdot\vec{u}=0$ , puis en résolvant pour $t$
Comment étudier la configuration d'une droite et d'un plan (intersection, parallélisme, appartenance) ?
- En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$ (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)
Comment déterminer l'intersection de deux plans ?
- En résolvant le système de deux équations cartésiennes à trois inconnues : exprimer deux variables en fonction de la troisième pour obtenir la représentation paramétrique de la droite d'intersection

Suites — Convergence et limites

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?
- En trouvant une constante $M$ par récurrence : montrer que $u_n \leq M$ pour tout $n$ par hérédité
- En combinant monotonie et valeur initiale (ex : suite croissante est minorée par $u_0$ )
Comment démontrer une propriété d'une suite par récurrence ?
- En initialisant au rang de base, en supposant la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence), puis en la démontrant au rang $n+1$
Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?
- En encadrant $u_n$ entre deux suites $v_n \leq u_n \leq w_n$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $u_n \to \ell$
Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?
- En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)
Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?
- En montrant que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), concluant à la convergence, puis en déterminant la limite via $\ell = f(\ell)$ et la continuité de $f$
Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?
Comment modéliser et étudier un phénomène d'évolution par une suite ?
- En traduisant la loi d'évolution en relation de récurrence ou en formule explicite, puis en étudiant la convergence et l'interprétation de la limite

Limites des fonctions

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?
- En appliquant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composée) et les limites de référence (puissances, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ )
- En invoquant la continuité d'une fonction usuelle en un point (la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point)
Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?
- En identifiant le terme de plus haut degré (polynôme) ou la fonction dominante, en le factorisant, puis en calculant la limite de l'expression simplifiée
Comment utiliser les croissances comparées pour calculer une limite ?
- En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une fonction ?
- En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $\lim f = \ell$
Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?
- En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe
- En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe

Compléments sur la dérivation

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée $v \circ u$ ?
- En identifiant clairement $u$ et $v$ , en calculant $u'$ et $v'$ , puis en appliquant $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?
- En dérivant une deuxième fois la fonction dérivée $f'$
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?
- En calculant $f''$ et en étudiant son signe : $f'' > 0$ sur $I$ signifie $f$ convexe sur $I$ , $f'' < 0$ signifie $f$ concave
- En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes
Comment trouver les points d'inflexion d'une courbe ?
- En cherchant les points où $f''$ s'annule et change de signe
Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?
- En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$
- En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)
Comment esquisser l'allure d'une courbe à partir des tableaux de $f$ , $f'$ , $f''$ ?
- En construisant les tableaux de variations de $f'$ et $f''$ pour repérer les extrema, les points d'inflexion et la concavité, puis en traçant la courbe de $f$

Continuité des fonctions d'une variable réelle

Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?
- En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$
- En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?
- En vérifiant que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris (strictement) entre $f(a)$ et $f(b)$ , puis en concluant qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$
Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ a une unique solution ?
- En montrant que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)
Comment encadrer une solution par la méthode de dichotomie ?
- En partant d'un intervalle $[a,b]$ où $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, en évaluant $f$ au milieu $c = \dfrac{a+b}{2}$ , en choisissant le sous-intervalle qui contient la racine, et en répétant jusqu'à la précision souhaitée
Comment étudier une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ et sa limite en utilisant la continuité ?
- En montrant que $f$ est continue et envoie un intervalle $I$ dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence, et en identifiant la limite $\ell = f(\ell)$ grâce à la continuité de $f$

Fonction logarithme népérien

Comment utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier une expression ?
- En appliquant $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ (pour $a, b > 0$ )
Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?
Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\ln$ ?
- En utilisant $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$ ), formule de la dérivée d'une composée
Comment étudier les variations et les limites d'une fonction avec $\ln$ ?
- En calculant $f'$ , en étudiant son signe pour dresser le tableau de variations, puis en calculant les limites en $0^+$ et en $+\infty$ avec les résultats connus sur $\ln$
Comment calculer des limites faisant intervenir $\ln$ (dont $x\ln x$ en $0$ ) ?
- En utilisant les croissances comparées : $x^\alpha \ln x \to 0$ en $0^+$ pour $\alpha > 0$ , et $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ en $+\infty$
Comment utiliser les croissances comparées de $\ln$ et des puissances pour calculer une limite ?
- En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement

Fonctions sinus et cosinus

Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?
- En trouvant la solution principale ( $x_0 \in [0,\pi]$ pour $\cos$ , $x_0 \in [-\pi/2,\pi/2]$ pour $\sin$ ), en déduisant les solutions générales par symétrie et périodicité, puis en sélectionnant celles dans l'intervalle demandé
Comment résoudre une inéquation trigonométrique sur $[-\pi,\pi]$ ?
- En résolvant d'abord l'équation associée pour trouver les bornes, puis en déterminant les intervalles solutions à partir des variations de $\sin$ ou $\cos$ sur $[-\pi,\pi]$
Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?
- En utilisant $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ (formules de la composée), avec identification claire de $u$
Comment étudier les variations et les extrema d'une fonction trigonométrique ?
- En calculant $f'$ , en étudiant son signe sur l'intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations
Comment résoudre un problème géométrique impliquant les fonctions trigonométriques ?
- En exprimant les grandeurs géométriques (longueurs, angles, aires) en fonction d'une variable, en formant la fonction à étudier, puis en cherchant ses extrema par dérivation

Primitives et équations différentielles

Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?
- En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$
Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ?
- En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?
- En reconnaissant que les solutions sont $y = Ce^{ax}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ), puis en déterminant $C$ à partir de la condition initiale si elle est donnée
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) ?
- En cherchant d'abord la solution particulière constante $y_p = -b/a$ (en posant $y' = 0$ ), puis en écrivant la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$
Comment utiliser une solution particulière pour résoudre $y' = ay + f$ ?
- En posant $z = y - y_p$ (où $y_p$ est la solution particulière donnée), en montrant que $z' = az$ , puis en écrivant $y = Ce^{ax} + y_p$
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?
- En substituant la condition initiale $(x_0, y_0)$ dans la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$ pour déterminer la constante $C$

Calcul intégral

Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?
- En trouvant une primitive $F$ de $f$ , puis en calculant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?
- En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$
Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?
- En utilisant : si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a,b]$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)$
- En comparant deux fonctions : si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$
Comment estimer graphiquement ou numériquement une intégrale ?
- En calculant une somme de Riemann (méthode des rectangles) : $\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b-a}{n}\right) \cdot \dfrac{b-a}{n}$
Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?
- En appliquant $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$
Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
- En déterminant les points d'intersection de $f$ et $g$ , puis en calculant $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ (en séparant selon le signe de $f - g$ )
Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?
- En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite
Comment interpréter une intégrale dans un contexte concret ?
- En identifiant ce que représente $f(x)$ dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme la quantité totale accumulée sur $[a,b]$

Loi binomiale — Schéma de Bernoulli

Comment modéliser une situation par un schéma de Bernoulli ?
- En vérifiant les trois critères : $n$ répétitions, épreuves indépendantes, même probabilité de succès $p$ à chaque épreuve
Comment représenter une succession d'épreuves par un arbre et calculer des probabilités ?
- En construisant l'arbre des possibilités, en multipliant les probabilités le long d'une branche (indépendance), puis en additionnant les branches correspondant à l'événement souhaité
Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ?
- En appliquant $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements
- En partitionnant l'univers en événements $A_1, \ldots, A_k$ et en appliquant $P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?
- En appliquant $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
Comment calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ , $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?
- En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
Comment résoudre un problème de seuil avec une loi binomiale ?
- En calculant les probabilités cumulées $P(X \leq k)$ successivement (en incrémentant $k$ depuis $0$ ) jusqu'à dépasser le seuil imposé $1 - \alpha$

Sommes de variables aléatoires

Comment exprimer une variable aléatoire comme somme de variables plus simples ?
- En décomposant la situation en $n$ épreuves indépendantes identiques, en posant $X_i = 1$ si succès à l'épreuve $i$ (variable de Bernoulli), puis $X = X_1 + \cdots + X_n$
Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?
- En appliquant $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$ (sans hypothèse d'indépendance), après avoir identifié les espérances élémentaires
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?
- En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (variables indépendantes) et $V(aX) = a^2 V(X)$ , après avoir identifié les variances élémentaires
Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?
- En décomposant $X = X_1 + \cdots + X_n$ (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité
Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?
- En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )

Concentration et loi des grands nombres

Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
- En identifiant $E(X) = \mu$ et $V(X)$ , en choisissant $\varepsilon > 0$ , puis en appliquant $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$
Comment déterminer une taille d'échantillon pour garantir une précision $\varepsilon$ avec un risque $\alpha$ ?
- En utilisant l'inégalité de concentration $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha$ , puis en résolvant $n \geq \dfrac{V}{\alpha\varepsilon^2}$
Comment énoncer et interpréter la loi des grands nombres ?
- En énonçant que pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ , et en interprétant : la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées