Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (variables indépendantes) et $V(aX) = a^2 V(X)$ , après avoir identifié les variances élémentaires

L'objectif

Calculer $V(aX + bY + c)$ pour des variables $X$ et $Y$ indépendantes, à partir de leurs variances individuelles.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ; de plus $V(aX) = a^2 V(X)$ et $V(X + c) = V(X)$ pour toute constante $c$ .

La méthode

1
Vérifier que les variables sont bien indépendantes (condition indispensable pour l'additivité de la variance).
2
Identifier les variances élémentaires $V(X_1), V(X_2), \ldots$ (loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).
3
Appliquer les règles : $V(aX) = a^2 V(X)$ , $V(X + c) = V(X)$ , et $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
4
Calculer la valeur numérique. Si besoin, déduire l'écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y) (variables indépendantes) et V(aX)=a2V(X)V(aX) = a^2 V(X)V(aX)=a2V(X), après avoir identifié les variances élémentaires