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Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En trouvant une constante MM par récurrence : montrer que un≤Mu_n \leq M pour tout nn par hérédité

L'objectif

Démontrer rigoureusement qu'une suite est majorée (ou minorée) par une constante MM.

Le principe

On utilise le raisonnement par récurrence : on montre que la propriété Pn:un≤M\mathcal{P}_n : u_n \leq M est vraie au rang initial puis que l'hérédité est vérifiée.

La méthode
  1. 1
    Conjecturer la valeur du majorant (ou minorant) MM en observant les premiers termes ou en résolvant f(M)=Mf(M) = M si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n).
  2. 2
    Initialisation : vérifier que u0≤Mu_0 \leq M (ou u0≥mu_0 \geq m pour un minorant).
  3. 3
    Hérédité : supposer un≤Mu_n \leq M (hypothèse de récurrence), puis montrer que un+1≤Mu_{n+1} \leq M en utilisant l'expression de un+1u_{n+1} et l'hypothèse.
  4. 4
    Conclure par le principe de récurrence que la propriété est vraie pour tout n≥0n \geq 0.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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