MetMat
← Retour aux méthodes

Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En combinant monotonie et valeur initiale (ex : suite croissante est minorée par u0u_0)

L'objectif

Déduire rapidement un majorant ou minorant d'une suite à partir de sa monotonie et de sa valeur initiale (ou limite).

Le principe

Une suite croissante est minorée par son premier terme u0u_0 ; une suite décroissante est majorée par u0u_0. Si de plus la suite est convergente de limite ℓ\ell, alors ℓ\ell est l'autre borne.

La méthode
  1. 1
    Établir (ou supposer connue) la monotonie de la suite (un)(u_n).
    Voir
  2. 2
    Si la suite est croissante, déduire immédiatement que un≥u0u_n \geq u_0 pour tout nn (minorant). Si la suite est décroissante, déduire que un≤u0u_n \leq u_0 (majorant).
  3. 3
    Pour l'autre borne, utiliser la limite connue ou conjecturée ℓ\ell : si (un)(u_n) croissante et converge vers ℓ\ell, alors un≤ℓu_n \leq \ell pour tout nn.
    Voir
  4. 4
    Conclure que la suite est bornée en précisant l'encadrement u0≤un≤ℓu_0 \leq u_n \leq \ell (cas croissante) ou ℓ≤un≤u0\ell \leq u_n \leq u_0 (cas décroissante).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.