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Accueil › Méthodes › Seconde (tronc commun)

Méthodes de mathématiques — Seconde (tronc commun)

12 chapitres, 92 questions types et 124 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Nombres réels et intervalles

Comment représenter un intervalle sur la droite numérique ?
- En identifiant les bornes et leur type (crochet ouvert ou fermé) et en traçant le segment sur l'axe
Comment déterminer si un nombre appartient à un intervalle donné ?
- En vérifiant que le nombre satisfait les inégalités définissant l'intervalle
- En utilisant la condition $|x - a| \leq r$ pour un intervalle centré $[a-r, a+r]$
Comment encadrer un nombre réel à $10^{-n}$ près ?
- En balayant les décimaux d'ordre $n$ jusqu'à trouver deux valeurs consécutives encadrant le réel
Comment exprimer la distance entre deux nombres réels avec la valeur absolue ?
- En calculant $|a - b|$ (distance toujours positive ou nulle)
Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ?
- En traduisant la condition $|x - a| \leq r$ en $a - r \leq x \leq a + r$ (de la condition vers l'intervalle)
- En partant de l'intervalle $[a-r, a+r]$ pour en déduire la condition équivalente $|x - a| \leq r$
Comment déterminer si un nombre est rationnel, décimal ou irrationnel ?
- Classer un nombre selon son écriture décimale
- Reconnaître les irrationnels courants
Comment montrer qu'un nombre est irrationnel ?
- Démontrer l'irrationalité par l'absurde
Comment arrondir un résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs ?
- Arrondir un résultat au rang adapté

Multiples, diviseurs et nombres premiers

Comment vérifier si un entier est multiple ou diviseur d'un autre ?
- En effectuant la division euclidienne et en vérifiant que le reste est nul
- En appliquant les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10)
Comment déterminer si un entier est pair ou impair ?
- En vérifiant si l'entier est divisible par 2 (reste 0 → pair, reste 1 → impair)
Comment simplifier une fraction pour la rendre irréductible ?
- En calculant le PGCD par l'algorithme d'Euclide, puis en divisant par ce PGCD
- En décomposant en produit de facteurs premiers, puis en simplifiant les facteurs communs
Comment déterminer si un entier est premier ?
- En testant la divisibilité de $n$ par tous les entiers premiers $\leq \sqrt{n}$
Comment résoudre un problème faisant intervenir des multiples ou des diviseurs ?
- En modélisant les contraintes avec des expressions $n = k \times a$ et en exploitant les propriétés des multiples

Calcul littéral et expressions algébriques

Comment calculer avec des puissances entières relatives ?
- En appliquant les règles : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ , $a^n / a^m = a^{n-m}$ , $(a^n)^m = a^{nm}$ , $a^{-n} = 1/a^n$ , $(ab)^n = a^n b^n$
Comment simplifier une expression avec des racines carrées ?
- En utilisant $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour développer ou factoriser sous la racine
- En utilisant $\sqrt{a^2} = |a|$ pour simplifier les expressions du type $\sqrt{(\ldots)^2}$
Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ?
- En reconnaissant la forme et en appliquant dans le sens développement
- En reconnaissant dans une expression développée la forme d'une identité remarquable et en factorisant
Comment effectuer des calculs sur des expressions fractionnaires ?
Comment choisir entre forme développée et forme factorisée pour résoudre un problème ?
- En utilisant la forme factorisée pour étudier le signe ou résoudre une équation/inéquation produit nul
- En utilisant la forme développée pour calculer une valeur numérique, comparer à une constante ou simplifier une somme
Comment exprimer une variable en fonction des autres dans une formule ?
- Isoler une variable dans une formule
Comment comparer deux quantités algébriquement ?
- Comparer deux quantités par leur différence
- Comparer deux quantités positives par leur quotient
Comment résoudre une équation du premier degré ?
- Résoudre une équation du premier degré
Comment résoudre une inéquation du premier degré ?
- Résoudre une inéquation du premier degré
Comment modéliser un problème par une équation ou une inéquation ?
- Modéliser un problème par une équation
- Modéliser un problème par une inéquation

Vecteurs du plan

Comment lire ou donner les coordonnées d'un vecteur ?
- En lisant les déplacements horizontal (abscisse) et vertical (ordonnée) du vecteur dans le repère orthonormé
Comment calculer la norme d'un vecteur ?
- En appliquant la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ pour le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(x\,;\,y)$
Comment calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir des coordonnées de $A$ et $B$ ?
- En calculant $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\, y_B - y_A)$
Comment additionner deux vecteurs ?
- En additionnant les coordonnées : $\vec{u}(x_1\,;\,y_1) + \vec{v}(x_2\,;\,y_2) = (x_1+x_2\,;\,y_1+y_2)$
- En construisant géométriquement la somme par la règle du parallélogramme ou en mettant les vecteurs bout à bout
Comment multiplier un vecteur par un réel ?
- En multipliant chaque coordonnée par le réel : $k\,\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)$
Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?
- En faisant la moyenne des coordonnées : $I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)$
Comment calculer la distance entre deux points ?
- En calculant $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant ?
- En calculant $\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$ : les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul
Comment montrer que trois points sont alignés avec les vecteurs ?
- En calculant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis leur déterminant : s'il est nul, les trois points sont alignés
Comment montrer que deux droites sont parallèles avec les vecteurs ?
- En déterminant un vecteur directeur pour chaque droite, puis en calculant leur déterminant : s'il est nul, les vecteurs directeurs sont colinéaires donc les droites sont parallèles (ou confondues)
Comment utiliser la relation de Chasles pour décomposer un vecteur ?
- En introduisant un point intermédiaire $B$ et en écrivant $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Géométrie plane et trigonométrie

Comment calculer des longueurs dans une figure géométrique ?
Comment calculer des angles dans un triangle rectangle ?
- En calculant le rapport trigonométrique correspondant à l'angle cherché, puis en utilisant $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$
Comment utiliser la relation $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ ?
- En calculant $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ connaissant $\cos\alpha$ (ou inversement), en tenant compte du signe selon l'intervalle de $\frac{(b+b') \times h}{2}$
Comment calculer des aires de figures planes ?
- En appliquant la formule adaptée : triangle $\frac{b \times h}{2}$ , disque $\pi r^2$ , rectangle $L \times l$ , trapèze $\frac{(b+b') \times h}{2}$ , losange $\frac{d \times d'}{2}$
- En décomposant une figure complexe en figures simples dont on additionne (ou soustrait) les aires
Comment calculer des volumes de solides ?
Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?
- Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Comment résoudre un problème d'optimisation géométrique ?
- Optimiser une grandeur géométrique par étude de fonction

Droites du plan

Comment déterminer le coefficient directeur (pente) d'une droite ?
- En calculant $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ à partir des coordonnées de deux points distincts $A$ et $B$ de la droite
- En lisant directement le coefficient $m$ dans l'équation réduite $y = mx + p$
Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite ?
Comment trouver l'équation réduite d'une droite ( $y = mx + p$ ) ?
- En calculant d'abord le coefficient directeur $m$ , puis en substituant les coordonnées d'un point connu $(x_0\,;\,y_0)$ pour trouver $p = y_0 - m x_0$
Comment trouver l'équation cartésienne d'une droite ( $ax + by + c = 0$ ) ?
- En utilisant un point $A(x_0\,;\,y_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u\,;\,v)$ : l'équation est $v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0$
- En réarrangeant l'équation réduite $y = mx + p$ sous la forme $mx - y + p = 0$
Comment tracer une droite à partir de son équation ?
- En calculant deux points distincts de la droite (par exemple les intersections avec les axes : $x = 0$ donne $y = p$ ; $y = 0$ donne $x = -p/m$ ), puis en les joignant
- En utilisant l'ordonnée à l'origine $p$ comme premier point, puis en appliquant la pente $m$ pour placer un second point (avancer de 1 unité en abscisse, monter de $m$ en ordonnée)
Comment déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes ?
- En comparant leurs coefficients directeurs : si $m_1 = m_2$ , les droites sont parallèles (ou confondues) ; si $m_1 \neq m_2$ , elles sont sécantes
Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?
- Par substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde pour obtenir une équation à une inconnue
- Par combinaison (addition) : multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue par addition membre à membre
Comment déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes ?
- En résolvant le système formé par les équations des deux droites (substitution ou combinaison), les coordonnées de la solution sont celles du point d'intersection
Comment vérifier que trois points sont alignés à l'aide des équations de droite ?
- En déterminant l'équation de la droite passant par deux des points, puis en vérifiant que les coordonnées du troisième point satisfont cette équation

Fonctions de référence

Comment reconnaître et tracer la courbe d'une fonction de référence ?
- En mémorisant la forme caractéristique de chaque courbe
- En calculant des valeurs remarquables et en reliant les points
Comment comparer $f(a)$ et $f(b)$ pour une fonction de référence ?
- En exploitant la monotonie connue de la fonction sur l'intervalle
- En calculant directement $f(a)$ et $f(b)$ puis en comparant les valeurs
Comment résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ pour une fonction de référence ?
- En inversant algébriquement la relation
- En lisant graphiquement les intersections avec la droite $y = k$
Comment étudier la position relative de $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ?
- En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$

Représentation et étude des fonctions

Comment déterminer si un point appartient à la courbe d'une fonction ?
- En substituant les coordonnées du point $(x_0\,;\,y_0)$ dans $y = f(x)$ et en vérifiant si $f(x_0) = y_0$
Comment lire graphiquement les images et antécédents d'une fonction ?
- Pour lire l'image de $a$ : repérer sur la courbe le point d'abscisse $a$ , lire son ordonnée $f(a)$ (déplacement vertical depuis l'axe des abscisses)
- Pour lire les antécédents de $b$ : tracer la droite $y = b$ et repérer les abscisses de ses intersections avec la courbe
Comment résoudre graphiquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ ?
- En traçant la droite horizontale $y = k$ , puis en lisant les abscisses des intersections avec la courbe (solution de $f(x)=k$ ) ou les abscisses des portions de courbe situées en dessous (solution de $f(x) < k$ )
Comment résoudre algébriquement une équation ou inéquation $f(x) = k$ ?
- En posant l'équation $f(x) = k$ , en isolant $x$ par les opérations inverses adaptées à la nature de $f$ , et en vérifiant les conditions du domaine de définition
Comment résoudre une inéquation produit ou quotient à l'aide d'un tableau de signes ?
- En identifiant les facteurs et leurs zéros ou valeurs interdites, en dressant le tableau de signes de chaque facteur, puis en déduisant ligne par ligne le signe du produit ou du quotient (règle des signes)
Comment résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ ou $f(x) < g(x)$ ?
- En traçant les courbes de $f$ et de $g$ dans le même repère, en lisant les abscisses des intersections (solution de $f(x)=g(x)$ ) ou les abscisses des portions où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ (solution de $f(x) < g(x)$ )
Comment modéliser une situation réelle par une fonction ?
- En identifiant la variable indépendante et la grandeur qui en dépend, en établissant la formule algébrique $y = f(x)$ , et en précisant le domaine de définition pertinent pour la situation
Comment étudier la parité d'une fonction ?
- En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )

Variations et extremums des fonctions

Comment dresser le tableau de variations d'une fonction à partir de sa courbe ?
- En lisant sur la courbe les intervalles où elle monte (croissance) et descend (décroissance), et en notant les valeurs $f(a)$ aux changements de sens (extremums locaux)
Comment lire et interpréter un tableau de variations ?
- En associant les flèches montantes aux intervalles de croissance et les flèches descendantes aux intervalles de décroissance, et en lisant les extremums aux valeurs inscrites aux extrémités des flèches
Comment déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle ?
- En identifiant sur la courbe les points sommets (maximum local) et les points creux (minimum local) sur l'intervalle étudié
Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?
Comment relier le signe du coefficient directeur et le sens de variation d'une fonction affine ?
- En calculant $f(b) - f(a) = m(b-a)$ pour $b > a$ : si $m > 0$ , la différence est positive donc $f$ est croissante ; si $m < 0$ , la différence est négative donc $f$ est décroissante ; si $m = 0$ , $f$ est constante
Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?
- Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner
- Par dichotomie : diviser l'intervalle encadrant l'extremum en deux à chaque étape et conserver le sous-intervalle qui contient le maximum (ou minimum), jusqu'à atteindre la précision souhaitée

Statistiques et information chiffrée

Comment calculer la proportion ou le pourcentage d'une sous-population ?
- En divisant l'effectif de la sous-population par l'effectif total pour obtenir la proportion, puis en multipliant par 100 pour obtenir le pourcentage
Comment calculer un pourcentage de pourcentage ?
- En multipliant les proportions : $p\%$ d'une quantité qui représente $q\%$ d'un tout donne $\frac{p}{100} \times \frac{q}{100}$ du tout
Comment calculer une variation absolue et une variation relative ?
- En calculant : variation absolue $= v_f - v_i$ ; variation relative $= \frac{v_f - v_i}{v_i} \times 100\,\%$ ; coefficient multiplicateur $CM = \frac{v_f}{v_i}$
Comment calculer le taux d'évolution global à partir de taux d'évolution successifs ?
- En multipliant les coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{\mathrm{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n$
Comment calculer le taux d'évolution réciproque ?
- En calculant le coefficient multiplicateur réciproque $CM_{\text{réc}} = \frac{1}{CM}$ , puis le taux réciproque $= (CM_{\text{réc}} - 1) \times 100\,\%$
Comment calculer une moyenne pondérée ?
- En calculant $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$ (somme des produits valeur × effectif, divisée par l'effectif total)
Comment calculer les quartiles et l'écart interquartile d'une série statistique ?
- En ordonnant la série, en localisant $Q_1$ (premier quart) et $Q_3$ (trois quarts), puis en calculant $EI = Q_3 - Q_1$
Comment calculer l'écart type d'une série statistique ?
- En calculant la variance $\sigma^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ puis $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Comment comparer deux séries statistiques à l'aide d'indicateurs ?
- En comparant d'abord les indicateurs de position puis les indicateurs de dispersion

Probabilités et dénombrement

Comment décrire l'univers et les événements d'une expérience aléatoire ?
- En listant toutes les issues pour former $\Omega$ , puis en décrivant les événements comme sous-ensembles de $\Omega$ avec les opérations $\cup$ , $\cap$ , $\bar{A}$
Comment calculer la probabilité d'un événement dans un univers fini ?
- En cas d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
- En cas général : $P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega)$ (somme des probabilités des issues de $A$ )
Comment calculer la probabilité d'un événement complémentaire ?
- En appliquant $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Comment utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ?
- En calculant séparément $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ , puis en appliquant la formule ; cas particulier incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Comment dénombrer les issues à l'aide d'un tableau à double entrée ?
- En plaçant les issues de la première épreuve en lignes et de la seconde en colonnes ; chaque case représente une issue de l'expérience composée
Comment dénombrer les issues et calculer des probabilités avec un arbre ?
- En dessinant l'arbre, en annotant chaque branche de sa probabilité, puis en multipliant les probabilités le long de chaque chemin
Comment calculer des probabilités pour une expérience à deux ou trois épreuves ?
- En construisant l'arbre complet, en calculant la probabilité de chaque feuille par multiplication des branches, puis en additionnant les feuilles favorables à l'événement
Comment estimer une probabilité à partir de fréquences observées sur un échantillon ?
- En simulant l'expérience $n$ fois (Python ou tableur), en comptant les succès $k$ , puis en estimant $P \approx \frac{k}{n}$

Algorithmique et Python

Comment écrire et utiliser des variables en Python ?
- En affectant une valeur avec = (ex : x = 5), en choisissant le type adapté : int (entier), float (décimal), str (chaîne), bool (booléen), et en mettant à jour la variable au fil du programme
Comment écrire une instruction conditionnelle en Python ?
- En utilisant la structure if condition: ... elif condition: ... else: ..., avec une indentation de 4 espaces pour chaque bloc, chaque condition étant une expression booléenne
Comment écrire une boucle bornée (for) en Python ?
- En utilisant for i in range(n): pour répéter le bloc $n$ fois (i prend les valeurs $0, 1, \ldots, n-1$ ), ou for i in range(a, b): pour les valeurs de $a$ à $b-1$
Comment écrire une boucle non bornée (while) en Python ?
- En utilisant while condition: ... en s'assurant que la condition finit par devenir fausse (via une variable qui évolue à chaque tour) pour éviter une boucle infinie
Comment définir et appeler une fonction en Python ?
- En définissant avec def nom(parametre): ... return valeur, puis en l'appelant avec resultat = nom(argument) ; la fonction encapsule un calcul réutilisable
Comment simuler une expérience aléatoire en Python ?
- En important random, puis en utilisant random.random() ou random.randint(a, b), en répétant dans une boucle for et en comptant les succès pour estimer la probabilité par $\frac{\text{succès}}{n}$
Comment lire et comprendre un algorithme ou programme donné ?
- En suivant l'exécution pas à pas en notant l'état de chaque variable à chaque étape, en identifiant la structure globale (séquence, test, boucle, fonction) et en formulant l'objectif de chaque bloc

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Approfondies
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées