Comment résoud… : En inversant algébriquement la relation — 2de | MetMat

Comment résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ pour une fonction de référence ?

En inversant algébriquement la relation

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 = 9$ .

La méthode

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Identifier la fonction $f$ et la valeur $k$ , et vérifier les conditions de validité : $k \geq 0$ pour $x^2 = k$ ou $\sqrt{x} = k$ ; $k \neq 0$ pour $\frac{1}{x} = k$ ; aucune condition pour $x^3 = k$ .
2
Appliquer la formule d'inversion : $x^2 = k \Rightarrow x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ ; $\frac{1}{x} = k \Rightarrow x = \frac{1}{k}$ ; $\sqrt{x} = k \Rightarrow x = k^2$ ; $x^3 = k \Rightarrow x = \sqrt[3]{k}$ .
3
Pour une inéquation, utiliser la monotonie : traduire $f(x) < k$ en une inégalité sur $x$ en tenant compte du sens de variation de $f$ (l'inégalité se conserve si $f$ est croissante, s'inverse si $f$ est décroissante).
4
Conclure en précisant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 = 9$ .

$k = 9 \geq 0$ : la condition est vérifiée.

$x^2 = 9 \Rightarrow x = \sqrt{9} = 3$ ou $x = -\sqrt{9} = -3$ .

Il s'agit d'une équation : cette étape ne s'applique qu'aux inéquations.

Les solutions sont $x = 3$ et $x = -3$ .

$\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}$ .

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Comment résoudre f(x)=kf(x) = kf(x)=k ou f(x)<kf(x) < kf(x)<k pour une fonction de référence ?

En inversant algébriquement la relation

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ pour une fonction de référence ?