Comment résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ pour une fonction de référence ?

En inversant algébriquement la relation

L'objectif

Résoudre algébriquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ en utilisant les formules d'inversion de chaque fonction de référence.

Le principe

Chaque fonction de référence admet une ou plusieurs formules d'inversion qu'on applique directement après avoir vérifié les conditions sur $k$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et la valeur $k$ , et vérifier les conditions de validité : $k \geq 0$ pour $x^2 = k$ ou $\sqrt{x} = k$ ; $k \neq 0$ pour $\frac{1}{x} = k$ ; aucune condition pour $x^3 = k$ .
2
Appliquer la formule d'inversion : $x^2 = k \Rightarrow x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ ; $\frac{1}{x} = k \Rightarrow x = \frac{1}{k}$ ; $\sqrt{x} = k \Rightarrow x = k^2$ ; $x^3 = k \Rightarrow x = \sqrt[3]{k}$ .
3
Pour une inéquation, utiliser la monotonie : traduire $f(x) < k$ en une inégalité sur $x$ en tenant compte du sens de variation de $f$ (l'inégalité se conserve si $f$ est croissante, s'inverse si $f$ est décroissante).
4
Conclure en précisant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Difficulté croissante de 1 à 5

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