Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ? | MetMat

Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ : utiliser $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0$ pour $0 \leq a < b$ pour montrer que $f$ est croissante

Montrer par le calcul que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

L'objectif

Montrer par le calcul que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Le principe

En multipliant et divisant par la quantité conjuguée $\sqrt{b} + \sqrt{a}$ , on obtient $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ , fraction positive pour $0 \leq a < b$ .

La méthode

1
Prendre $0 \leq a < b$ et écrire $f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}$ .
2
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .
3
Conclure : $b - a > 0$ car $a < b$ , et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ (somme de nombres positifs), donc $f(b) - f(a) > 0$ , soit $f(b) > f(a)$ : $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

Étape 1 —

Prendre

0 \leq a < b

et écrire

f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}

Soient $0 \leq a < b$ . On écrit $f(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}$ .

Étape 2 —

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée :

\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}

On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ .

Étape 3 —

Conclure :

b - a > 0

car

a < b

, et

\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0

(somme de nombres positifs), donc

f(b) - f(a) > 0

, soit

f(b) > f(a)

f

est croissante sur

[0\,;\,+\infty[

$b - a > 0$ et $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$ (pour $a < b$ et $b > 0$ ), donc $f(b) - f(a) > 0$ : $f$ est croissante.

$f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Application guidée

Comparer $f(4)$ et $f(9)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ .

Application autonome 1

Calculer $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ sous forme de fraction en utilisant la quantité conjuguée.

Application autonome 2

Comparer $f(7)$ et $f(12)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ sans calculatrice.

Application autonome 3

Comparer $\sqrt{100} - \sqrt{99}$ et $\sqrt{9} - \sqrt{8}$ à l'aide de la quantité conjuguée. Qu'en déduit-on sur les variations de $f(x) = \sqrt{x}$ ?

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Pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x}f(x)=x​ : utiliser b−a=b−ab+a>0\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0b​−a​=b​+a​b−a​>0 pour 0≤a<b0 \leq a < b0≤a<b pour montrer que fff est croissante

Pour comprendre, fais des exercices !

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ : utiliser $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0$ pour $0 \leq a < b$ pour montrer que $f$ est croissante