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Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} : utiliser b−a=b−ab+a>0\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0 pour 0≤a<b0 \leq a < b pour montrer que ff est croissante

L'objectif

Montrer par le calcul que f(x)=xf(x) = \sqrt{x} est croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

Le principe

En multipliant et divisant par la quantité conjuguée b+a\sqrt{b} + \sqrt{a}, on obtient b−a=b−ab+a\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}, fraction positive pour 0≤a<b0 \leq a < b.

La méthode
  1. 1
    Prendre 0≤a<b0 \leq a < b et écrire f(b)−f(a)=b−af(b) - f(a) = \sqrt{b} - \sqrt{a}.
  2. 2
    Multiplier et diviser par la quantité conjuguée : b−a=(b−a)(b+a)b+a=b−ab+a\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}.
  3. 3
    Conclure : b−a>0b - a > 0 car a<ba < b, et b+a>0\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0 (somme de nombres positifs), donc f(b)−f(a)>0f(b) - f(a) > 0, soit f(b)>f(a)f(b) > f(a) : ff est croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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