Comment utiliser la relation… : En calculant sinalpha = sqrt 1 - cos^2alpha… — 2de | MetMat

Comment utiliser la relation $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ ?

En calculant $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ connaissant $\cos\alpha$ (ou inversement), en tenant compte du signe selon l'intervalle de $\alpha$

Calculer $\sin\alpha$ connaissant $\cos\alpha$ (ou inversement) à l'aide de la relation trigonométrique fondamentale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On sait que $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ et $\alpha \in [0°; 90°]$ . Calculer $\sin\alpha$ .

L'objectif

Calculer $\sin\alpha$ connaissant $\cos\alpha$ (ou inversement) à l'aide de la relation trigonométrique fondamentale.

Le principe

La relation $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ permet d'exprimer l'une des valeurs en fonction de l'autre ; le signe est déterminé par la position de $\alpha$ dans le cercle trigonométrique.

La méthode

1
À partir de la relation $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ , isoler la valeur cherchée : $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ (ou $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ ) et calculer le résultat numérique.
2
Déterminer le signe de la valeur cherchée en utilisant l'intervalle dans lequel se trouve $\alpha$ (par exemple, $\sin\alpha \geq 0$ si $\alpha \in [0°; 180°]$ , et $\cos\alpha \geq 0$ si $\alpha \in [-90°; 90°]$ ).
3
Conclure en prenant la racine carrée avec le bon signe : $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ ou $\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ selon le cas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On sait que $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ et $\alpha \in [0°; 90°]$ . Calculer $\sin\alpha$ .

Étape 1 —

À partir de la relation

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

, isoler la valeur cherchée :

\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha

(ou

\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

) et calculer le résultat numérique.

On isole $\sin^2\alpha$ : $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ .

Étape 2 —

Déterminer le signe de la valeur cherchée en utilisant l'intervalle dans lequel se trouve

\alpha

(par exemple,

\sin\alpha \geq 0

\alpha \in [0°; 180°]

, et

\cos\alpha \geq 0

\alpha \in [-90°; 90°]

Comme $\alpha \in [0°; 90°]$ , le sinus est positif : $\sin\alpha \geq 0$ .

Étape 3 —

Conclure en prenant la racine carrée avec le bon signe :

\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}

\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha}

selon le cas.

$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$ .

$\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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