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Accueil › Méthodes › ECG 1ère année Maths Approfondies

Méthodes de mathématiques — ECG 1ère année Maths Approfondies

26 chapitres, 190 questions types et 213 méthodes détaillées, chacune avec son objectif, ses étapes et un exemple corrigé.

Logique et raisonnement

Comment écrire la négation d'une proposition mathématique ?
- En appliquant les règles de négation des connecteurs et quantificateurs
Comment démontrer une implication ?
- En supposant l'hypothèse vraie et en déduisant la conclusion
Comment démontrer une équivalence ?
- En prouvant séparément les deux implications réciproques
- En enchaînant des équivalences successives
Comment montrer qu'une proposition est fausse (contre-exemple) ?
- En exhibant un contre-exemple
Comment raisonner par contraposition ?
- En démontrant la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$
Comment raisonner par l'absurde ?
- En supposant la négation et en dégageant une contradiction
Comment raisonner par disjonction de cas ?
- En partitionnant les configurations et en traitant chaque cas
Comment raisonner par analyse-synthèse ?
- En supposant l'existence d'une solution puis en vérifiant qu'elle convient

Ensembles et applications

Comment montrer une inclusion d'ensembles ?
- En prenant $x \in A$ quelconque et en montrant $x \in B$
Comment montrer l'égalité de deux ensembles ?
- En prouvant la double inclusion
- En raisonnant par équivalence sur l'appartenance
Comment manipuler union, intersection, complémentaire (lois de Morgan) ?
- En appliquant la distributivité et les lois de Morgan
Comment déterminer l'ensemble des parties d'un ensemble fini ?
- En énumérant les parties ou en utilisant $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$
Comment montrer qu'une application est injective ?
- En montrant que $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
- En utilisant la stricte monotonie (cas réel)
Comment montrer qu'une application est surjective ?
- En montrant que l'équation $f(x) = y$ admet une solution pour tout $y$
Comment montrer qu'une application est bijective ?
Comment déterminer l'application réciproque d'une bijection ?
- En résolvant $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$

Récurrence, sommes et produits, dénombrement

Comment démontrer une propriété par récurrence simple ?
- En vérifiant l'initialisation et l'hérédité
Comment démontrer une propriété par récurrence double ou forte ?
- En supposant la propriété aux rangs précédents (double/forte)
Comment calculer une somme arithmétique ou géométrique ?
- En appliquant les formules $\sum k = n(n+1)/2$ et $\sum q^k$
Comment calculer une somme télescopique ?
- En réécrivant $u_k = a_{k+1}-a_k$ et en sommant
Comment manipuler une double somme ?
- En permutant l'ordre (Fubini) ou en séparant en produit
Comment calculer un produit (notamment télescopique) ?
- En réécrivant $u_k = a_{k+1}/a_k$
Comment utiliser la formule du binôme de Newton ?
- En développant $(a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$
Comment manipuler les coefficients binomiaux ?
- En appliquant Pascal et la symétrie

Polynômes

Comment déterminer le degré d'un polynôme ?
- En identifiant le terme de plus haut degré non nul
Comment effectuer une division euclidienne ?
- En posant la division euclidienne par puissances décroissantes
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?
- En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$
Comment factoriser à partir d'une racine connue ?
- En divisant $P$ par $(X - a)$
Comment déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine ?
- En factorisant successivement par $(X - a)$
- En utilisant $P(a) = \dots = P^{(k-1)}(a) = 0$ , $P^{(k)}(a) \neq 0$
Comment appliquer la formule de Taylor à un polynôme ?
- En développant $P(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^k$

Calcul matriciel

Comment calculer somme, produit scalaire et produit matriciel ?
- En appliquant les formules coefficient par coefficient (somme, produit scalaire, produit ligne × colonne)
Comment calculer la transposée d'une matrice ?
- En échangeant lignes et colonnes, et en utilisant $(AB)^\top=B^\top A^\top$
Comment reconnaître une matrice triangulaire, diagonale ou symétrique ?
- En vérifiant la condition sur les coefficients ( $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , $a_{ij}=a_{ji}$ , etc.)
Comment calculer l'inverse d'une matrice d'ordre 2 ?
- En appliquant $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
Comment montrer qu'une matrice est inversible ?
- En exhibant une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ )
- En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$
Comment calculer l'inverse d'une matrice par le pivot de Gauss ?
- En appliquant des opérations élémentaires sur $(A\mid I_n)$ pour obtenir $(I_n\mid A^{-1})$
Comment calculer une puissance $A^n$ d'une matrice ?
- En conjecturant la forme de $A^n$ à partir des premiers termes puis en la démontrant par récurrence
- En décomposant $A=D+N$ avec $DN=ND$ et en appliquant la formule du binôme

Systèmes linéaires

Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?
- En effectuant les opérations élémentaires $L_j\leftrightarrow L_i$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser
Comment discuter le nombre de solutions d'un système linéaire ?
- En analysant la forme échelonnée du système (paramètres, rang) pour distinguer unique/infinité/aucune solution
Comment écrire un système sous forme matricielle AX = B ?
- En identifiant la matrice A des coefficients, le vecteur colonne X des inconnues et le second membre B
Comment calculer l'inverse d'une matrice via la résolution de AX = Y ?
- En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant $X=A^{-1}Y$ pour récupérer $A^{-1}$

Espaces vectoriels (introduction)

Comment montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel ?
- En vérifiant que le vecteur nul appartient à F et que F est stable par combinaison linéaire
- En exhibant F comme Vect d'une famille finie
Comment déterminer le sous-espace engendré par une famille finie ?
- En décrivant les combinaisons linéaires de la famille
Comment montrer qu'une famille est libre ?
- En montrant $\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?
- En montrant que tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire
Comment montrer qu'une famille est une base ?
- En prouvant que la famille est libre et génératrice
Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?
- En résolvant un système linéaire donnant les scalaires

Suites de nombres réels

Comment étudier le sens de variation d'une suite ?
- En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$
- En étudiant le rapport $u_{n+1}/u_n$ (termes positifs)
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?
- En conjecturant une majoration puis par récurrence
- En utilisant des inégalités classiques
Comment déterminer la borne supérieure ou inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$ ?
- En appliquant la caractérisation (plus petit majorant / approximation)
Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?
- En déterminant le point fixe $\ell$ et en posant $v_n=u_n-\ell$ (géométrique)
Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ?
- En résolvant $r^2=ar+b$ et en combinant les deux racines réelles
Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ ?
- En étudiant f (intervalle stable, monotonie) et en conjecturant par récurrence
- En utilisant l'IAF avec $|f'|\leq k<1$ (contraction)
Comment calculer la limite d'une suite par opérations algébriques ?
- En appliquant les règles d'opérations sur les limites et en levant les formes indéterminées
Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?
- En encadrant $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!$ par deux suites de même limite
Comment montrer la convergence par le théorème de limite monotone ?
- En prouvant monotonie et bornitude
Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?
- En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et $u_n-v_n\to 0$
Comment utiliser les croissances comparées sur une suite ?
- En appliquant $(\ln n)^b \ll n^a \ll q^n \ll n!$
Comment étudier la convergence via les extraites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ ?
- En montrant que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite

Limite et continuité des fonctions

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?
- En appliquant les règles d'opérations et la composition
Comment lever une forme indéterminée ?
- En factorisant ou simplifiant l'expression (terme dominant)
- En utilisant les croissances comparées $x^a \ln(x)^b$ , $x^a e^{-bx}$
Comment calculer une limite par encadrement ou composition ?
- En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?
- En utilisant les opérations sur les fonctions continues
- En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
Comment prolonger une fonction par continuité ?
- En calculant $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ (finie) et en posant $\tilde f(a)=\ell$
Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?
- En vérifiant $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(x)=0$
Comment appliquer le théorème de la bijection ?
- En montrant $f$ continue et strictement monotone sur $I$
Comment déterminer $f(I)$ pour $f$ continue sur un intervalle $I$ ?
- En exploitant image d'intervalle = intervalle (continue) + max/min ou limites aux bornes
Comment approcher une racine de $f(x)=0$ par dichotomie ?
- En bissectant itérativement $[a_n,b_n]$ en conservant le changement de signe

Dérivation et étude de fonctions

Comment montrer qu'une fonction est dérivable en un point ?
- En calculant la limite du taux d'accroissement $(f(x)-f(a))/(x-a)$ en a
Comment calculer la dérivée d'une fonction (produit, quotient, composée) ?
- En appliquant les règles (produit, quotient, composée)
Comment calculer la dérivée d'une bijection réciproque ?
- En appliquant $(f^{-1})'(y)=1/f'(f^{-1}(y))$
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?
- En étudiant le signe de f' et en utilisant un bloc variation
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?
- En vérifiant f dérivable et f' continue
- En utilisant les opérations sur $\mathcal{C}^1$
Comment appliquer le théorème de Rolle ?
- En vérifiant continuité sur $[a,b]$ , dérivabilité sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$
Comment appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis ?
- En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ avec $k=\sup|f'|$
Comment utiliser le théorème du prolongement de la dérivée ?
- En vérifiant f continue en a, $\mathcal{C}^1$ sur $I\setminus\{a\}$ , et $\lim f'(x)=\ell$
Comment étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ à l'aide de l'IAF ?
- En majorant $|u_n-\ell|\leq k|u_{n-1}-\ell|$ avec $k<1$

Intégration sur un segment

Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?
- En déterminant une primitive $F$ de $f$ et en appliquant $F(b)-F(a)$
Comment effectuer une intégration par parties ?
- En posant $u$ et $v'$ et en appliquant $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$
Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?
- En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$
Comment majorer une intégrale ?
- En utilisant $\left|\int f\right| \leq \int |f|$ puis en majorant $|f|$
Comment étudier une fonction définie par $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ?
- En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$
Comment approcher une intégrale par sommes de Riemann / méthode des rectangles ?
- En utilisant $\frac{b-a}{n}\sum f\!\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b f$

Probabilités sur un univers fini

Comment modéliser une expérience aléatoire ?
- En identifiant l'univers $\Omega$ , un SCE et les événements
Comment calculer une probabilité en équiprobabilité ?
- En calculant $P(A)=|A|/|\Omega|$
Comment calculer la probabilité d'une union (formule de Poincaré) ?
- En appliquant $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (extension à 3)
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
- En calculant $P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)$
Comment appliquer la formule des probabilités composées ?
- En appliquant $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\dots$
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?
- En utilisant un SCE $(A_i)$ et $P(B)=\sum P_{A_i}(B)P(A_i)$
Comment appliquer la formule de Bayes ?
- En appliquant $P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$
Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
- En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
Comment montrer que $n$ événements sont mutuellement indépendants ?
- En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille

Variables aléatoires finies et lois usuelles

Comment déterminer la loi d'une VAR finie ?
- En identifiant $X(\Omega)$ et $P(X=k)$ via un SCE
Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?
- En calculant $P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)$
Comment calculer l'espérance d'une VAR finie ?
- En calculant $E(X)=\sum x\,P(X=x)$
Comment utiliser la linéarité de l'espérance ?
- En décomposant $X$ en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$
Comment appliquer le théorème de transfert ?
- En calculant $E(g(X))=\sum g(x)P(X=x)$
Comment calculer la variance et l'écart-type (König-Huygens) ?
- En calculant $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Comment centrer et réduire une VAR ?
- En posant $X^*=(X-E(X))/\sigma(X)$
Comment reconnaître et utiliser une loi de Bernoulli ?
- En reconnaissant une indicatrice / deux issues de paramètre $p$
Comment reconnaître et utiliser une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?
- En reconnaissant $n$ répétitions indépendantes d'un Bernoulli
Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ ?
- En reconnaissant un tirage équiprobable dans $[\![a,b]\!]$

Espaces vectoriels de dimension finie

Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?
- En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal
Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?
- En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base
Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?
- En extrayant une sous-famille libre maximale de la famille
- En calculant le rang de la matrice des vecteurs par pivot de Gauss
Comment utiliser le théorème de la base incomplète ?
- En complétant une famille libre donnée par des vecteurs bien choisis pour obtenir une base
Comment montrer que deux sous-espaces sont en somme directe ?
- En montrant $F\cap G=\{0_E\}$
- En montrant $\dim F+\dim G=\dim E$
Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?
- En vérifiant $F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$
- En concaténant des bases de $F$ et $G$ pour former une base de $E$
Comment exploiter la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ ?
- En calculant $\dim F$ , $\dim G$ , $\dim(F\cap G)$ pour en déduire $\dim(F+G)$

Applications linéaires

Comment montrer qu'une application est linéaire ?
- En vérifiant $f(u+\lambda v)=f(u)+\lambda f(v)$ pour tous $u, v, \lambda$
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?
- En résolvant l'équation $f(x)=0_F$
Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?
- En calculant l'image d'une famille génératrice de $E$
Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?
- En appliquant $\dim E = \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)$
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?
Comment déterminer la matrice d'une application linéaire dans des bases ?
- En écrivant les images des vecteurs de la base de départ dans la base d'arrivée et en les rangeant en colonnes
Comment exploiter la matrice de passage et changer de base ?
- En appliquant $X_B = P_{B,B'}\,X_{B'}$ avec $P_{B,B'}$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $B'$ dans $B$
Comment montrer qu'un endomorphisme est un projecteur ?
- En vérifiant que $p^2 = p$
Comment utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice ou calculer $M^k$ ?
- En exhibant un polynôme $P$ tel que $P(u) = 0$ (ou $P(M) = 0$ ) puis en factorisant pour isoler $u^{-1}$ ou $u^k$

Étude asymptotique et comparaisons locales

Comment montrer qu'une suite est négligeable devant une autre ?
- En montrant $u_n/v_n \to 0$
Comment montrer que deux suites sont équivalentes ?
- En montrant $u_n/v_n \to 1$
- En écrivant $u_n = v_n + o(v_n)$
Comment utiliser un équivalent pour calculer une limite ?
- En remplaçant la suite/fonction par un équivalent plus simple
Comment manipuler les équivalents (produit, quotient, puissance) ?
- En appliquant les règles (produit, quotient, puissance ; pas d'addition ni composition)
Comment montrer qu'une fonction est négligeable ou équivalente au voisinage d'un point ?
- En étudiant $f(x)/g(x)$ au voisinage de $x_0$
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?
- En appliquant $\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0$ , $\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0$ , etc.

Séries numériques

Comment étudier la nature d'une série à termes positifs par comparaison ?
- En encadrant $0\leq u_n\leq v_n$ avec $\sum v_n$ de nature connue
Comment étudier la nature d'une série à termes positifs via un équivalent ?
- En montrant $u_n\sim v_n$ (tous deux positifs) pour conclure sur la même nature
Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ?
- En montrant la convergence de $\sum|u_n|$
Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?
- En comparant à $1/n^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ )
Comment calculer la somme d'une série géométrique et de ses dérivées ?
- En appliquant $\sum q^k=1/(1-q)$ , $\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2$ , etc. pour $|q|<1$
Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?
- En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$
Comment étudier une série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n)$ ?
- En sommant $u_{n+1}-u_n$ et en exploitant la limite éventuelle de $(u_n)$
Comment appliquer la négligeabilité $u_n=o(v_n)$ avec $v_n$ positive convergente ?
- En montrant $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ positive convergente

Intégrales généralisées

Comment montrer la convergence d'une intégrale impropre ?
- En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$
Comment calculer une intégrale impropre convergente ?
- En trouvant une primitive et en passant à la limite aux bornes
Comment appliquer les théorèmes de comparaison pour fonctions positives ?
- En appliquant $f\leq g$ , $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ au voisinage du point problématique (fonctions positives)
Comment utiliser les intégrales de référence $\int \mathrm{d}t/t^\alpha$ et $\int e^{-t}\mathrm{d}t$ ?
- En comparant à $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ ), $\int_0^a \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha$ (CV ssi $\alpha<1$ ), $\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t$
Comment démontrer la convergence absolue d'une intégrale impropre ?
- En montrant la convergence de $\int|f|$ (qui implique la convergence)
Comment effectuer une IPP ou un changement de variable dans une intégrale impropre ?
- En effectuant l'opération sur un segment $[a,x]$ puis en passant à la limite

Dérivées successives et formules de Taylor

Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ?
- En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent $\mathcal{C}^\infty$ ) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité
Comment calculer la dérivée $n$ -ième d'un produit (formule de Leibniz) ?
- En appliquant $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$
Comment appliquer la formule de Taylor avec reste intégral ?
- En écrivant $f(b)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$
Comment appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange ?
- En majorant $\left|f(b)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{[a,b]}|f^{(n+1)}|$

Développements limités

Comment écrire le DL en $0$ d'une fonction usuelle (exp, $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ , cos, sin) ?
- En mobilisant les DL classiques : $e^x=1+x+x^2/2+\dots+o(x^n)$ , $\ln(1+x)=x-x^2/2+\dots$ , etc.
Comment obtenir un DL par la formule de Taylor-Young ?
- En appliquant $f(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k!\,x^k + o(x^n)$ (f de classe $\mathcal{C}^\infty$ )
Comment calculer la somme et le produit de DL ?
- En tronquant le résultat à l'ordre voulu (composition hors programme)
Comment calculer une limite à l'aide d'un DL ?
- En développant numérateur et dénominateur au même ordre et en simplifiant
Comment étudier la position locale d'une courbe par rapport à sa tangente ?
- En analysant le premier terme non linéaire $a_k x^k$ ( $k\geq 2$ ) du DL ; position et forme (k=2, k=3)

Extremum et fonctions convexes

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction continue sur un segment ?
- En appliquant le théorème : toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?
- En résolvant $f'(x)=0$ sur l'intervalle ouvert
Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?
- En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique
Comment montrer qu'une fonction est convexe ?
- En vérifiant la définition $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$
- En montrant $f'' \geq 0$ sur $I$ (cas $\mathcal{C}^2$ )
Comment caractériser la convexité par la monotonie de $f'$ ou la position par rapport aux tangentes ?
- En montrant que $f'$ est croissante
- En montrant que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes
Comment appliquer une inégalité de convexité ?
- En appliquant $f(\sum t_i x_i) \leq \sum t_i f(x_i)$ avec $\sum t_i = 1$
Comment déterminer un point d'inflexion ?
- En trouvant $x_0$ où $f''$ change de signe
Comment tracer le graphe d'une fonction (variations, convexité, asymptotes) ?
- En rassemblant variations, convexité, limites et asymptotes éventuelles

Espace probabilisé (univers quelconque)

Comment utiliser la $\sigma$ -additivité d'une probabilité ?
- En appliquant $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ pour $(A_n)$ deux à deux disjoints
Comment appliquer le théorème de la limite monotone pour une suite d'événements ?
- En utilisant $P\left(\bigcup A_n\right)=\lim P(A_n)$ pour $(A_n)$ croissante, ou $P\left(\bigcap A_n\right)=\lim P(A_n)$ pour $(A_n)$ décroissante
Comment appliquer la formule des probabilités totales avec un SCE dénombrable ?
- En appliquant $P(B)=\sum_{n\geq 0} P_{A_n}(B) P(A_n)$ avec $(A_n)$ SCE dénombrable non négligeable
Comment montrer qu'un événement est presque sûr ou négligeable ?
- En montrant $P(A)=1$ (presque sûr) ou $X(\Omega)$ (négligeable)
Comment montrer que des événements d'une suite sont mutuellement indépendants ?
- En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille finie

Variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Comment montrer qu'une application définit une variable aléatoire discrète ?
- En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement
Comment déterminer la loi d'une VAR discrète ?
- En déterminant $X(\Omega)$ et en calculant $P(X=k)$ via SCE ou indépendance
Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?
- En regroupant $P(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega),\, g(x)=y} P(X=x)$
Comment montrer qu'une VAR admet une espérance ?
- En montrant la convergence absolue de $\sum x P(X=x)$
Comment montrer qu'une VAR admet une variance ?
- En montrant l'existence de $E(X^2)$ par domination ou calcul direct
Comment calculer l'espérance et la variance d'une VAR discrète ?
- En appliquant $E(X)=\sum x P(X=x)$ puis $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ (König-Huygens)
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?
- En calculant $\mathcal{P}(\lambda)$ sous convergence absolue
Comment reconnaître et utiliser une loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ ?
- En reconnaissant le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli sans mémoire
Comment reconnaître et utiliser une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ ?
- En reconnaissant $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ et en appliquant $E(X)=V(X)=\lambda$
Comment déterminer la fonction de répartition d'une VAR discrète ?
- En calculant $F_X(x)=P(X\leq x)$ et en exploitant sa croissance, ses limites $0$ et $1$

Couples de variables aléatoires discrètes

Comment déterminer la loi conjointe d'un couple (X, Y) ?
- En calculant P([X = x] ∩ [Y = y]) pour tous les couples (x, y)
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?
- En sommant la loi conjointe sur une des variables
Comment montrer que deux VAR discrètes sont indépendantes ?
- En vérifiant P([X = x] ∩ [Y = y]) = P(X = x) P(Y = y) pour tout (x, y)
Comment déterminer la loi de Z = g(X, Y) (somme, min, max) ?
- En calculant P(Z = z) = ∑ P([X = x] ∩ [Y = y]) sur les couples tels que g(x, y) = z
Comment utiliser la stabilité des lois binomiales et de Poisson par somme ?
- En appliquant X + Y ~ B(n_1 + n_2, p) (resp. P(λ_1 + λ_2)) pour X, Y indépendantes
Comment calculer E(XY) pour X, Y indépendantes ?
- En appliquant E(XY) = E(X) E(Y) (indépendance), sous réserve d'existence
Comment appliquer le théorème de transfert pour E(g(X, Y)) ?
- En calculant E(g(X, Y)) = ∑ g(x, y) P([X = x] ∩ [Y = y]) sous convergence absolue

Convergences et approximations

Comment appliquer l'inégalité de Markov ?
- En appliquant $P(X\geq a)\leq E(X)/a$ pour X positive admettant espérance, et $a>0$
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
- En appliquant $P(|X-E(X)|\geq \varepsilon)\leq V(X)/\varepsilon^2$ pour X admettant espérance et variance
Comment appliquer la loi faible des grands nombres ?
- En appliquant $\lim P(|\bar X_n - m|\geq \varepsilon)=0$ pour $(X_i)$ iid admettant espérance m et variance
Comment utiliser l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson ?
- En utilisant $\mathcal{B}(n,\lambda/n) \to \mathcal{P}(\lambda)$ ponctuellement (quand n grand et λ modéré)

Informatique (Python pour les mathématiques)

Comment écrire une fonction Python correspondant à une fonction mathématique ?
- En définissant def f(x): return ... avec les commandes numpy appropriées
Comment utiliser les structures conditionnelles et répétitives pour un algorithme mathématique ?
- En combinant if/elif/else, for k in range(...), while ... selon l'algorithme
Comment calculer et représenter graphiquement les termes d'une suite ?
- En itérant dans une boucle for et en traçant les points (n, u_n) avec plt.plot
Comment calculer une valeur approchée de la limite d'une suite ou de la somme d'une série ?
- En itérant dans une boucle while jusqu'à un critère d'arrêt sur un seuil de précision ε
Comment approcher une racine de f(x)=0 par dichotomie ?
- En bissectant itérativement l'intervalle [a, b] jusqu'à ce que b - a < ε
Comment calculer une valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles ?
- En sommant (b-a)/n × ∑ f(a + k(b-a)/n) pour k de 0 à n-1
Comment simuler une variable aléatoire de loi usuelle avec numpy.random ?
- En utilisant rd.binomial, rd.geometric, rd.poisson, rd.randint avec les bons paramètres
Comment estimer une probabilité par simulation ?
- En simulant N fois l'expérience et en calculant la fréquence de réalisation de l'événement
Comment résoudre M X = B et calculer M^k avec numpy.linalg ?
- En utilisant al.solve(M, B) pour MX=B et al.matrix_power(M, k) pour M^k

Les autres niveaux

Cinquième
Quatrième
Troisième
Seconde (tronc commun)
Première Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
Terminale Maths Complémentaires (option)
ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 2ème année Maths Approfondies
ECG 2ème année Maths Appliquées