En appliquant les formules coefficient par coefficient (somme, produit scalaire, produit ligne × colonne)

Calculer $A+B$ , $\lambda A$ et $AB$ à partir des coefficients.

L'objectif

Calculer $A+B$ , $\lambda A$ et $AB$ à partir des coefficients.

Le principe

Pour $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B=(b_{ij})\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ , $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ , $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ et $(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}$ .

La méthode

1
Je vérifie les compatibilités de format : somme et produit scalaire exigent même format, produit $AB$ exige $\mathrm{col}(A)=\mathrm{lig}(B)$ .
2
Pour la somme ou le produit scalaire, je calcule coefficient par coefficient.
3
Pour le produit $AB$ , je calcule chaque coefficient $(AB)_{ij}$ comme le produit scalaire de la $i$ -ème ligne de $A$ par la $j$ -ème colonne de $B$ .
4
Je rassemble les résultats dans la matrice finale au bon format.

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Exercice d'exemple

Calculer $A+B$ et $3A$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&-1\\2&5\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie les compatibilités de format : somme et produit scalaire exigent même format, produit

AB

exige

\mathrm{col}(A)=\mathrm{lig}(B)

$A$ et $B$ sont toutes deux dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ : somme et produit scalaire possibles.

Étape 2 —

Pour la somme ou le produit scalaire, je calcule coefficient par coefficient.

Somme : $A+B=\begin{pmatrix}1+0&2-1\\3+2&4+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\5&9\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Pour le produit

AB

, je calcule chaque coefficient

(AB)_{ij}

comme le produit scalaire de la

i

-ème ligne de

A

par la

j

-ème colonne de

B

Pas de produit ici, je passe directement au scalaire : $3A=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je rassemble les résultats dans la matrice finale au bon format.

Résultats : $A+B=\begin{pmatrix}1&1\\5&9\end{pmatrix}$ et $3A=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$ .

$A+B=\begin{pmatrix}1&1\\5&9\end{pmatrix}$ , $3A=\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer $AB$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&-1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\-1&3\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Calculer $BA$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3&0\\1&-1\end{pmatrix}$ et comparer à $AB$ .

Application autonome 2

Calculer $AB+BA$ avec $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $A^2$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ .

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