Comment calculer la limite d'une suite par opérations algébriques ?

En appliquant les règles d'opérations sur les limites et en levant les formes indéterminées

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite obtenue comme combinaison algébrique de suites dont les limites sont connues.

Le principe

Si $u_n\to \ell$ et $v_n\to \ell'$ avec $(\ell,\ell')$ compatibles, alors $u_n+v_n\to \ell+\ell'$ , $u_n v_n\to \ell\ell'$ et $\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq 0$ ) ; dans les cas indéterminés, on factorise par le terme dominant ou on utilise l'expression conjuguée.

La méthode

1
Je calcule séparément les limites des blocs simples $u_n$ , $v_n$ , etc. en utilisant les limites de référence ( $\frac{1}{n}\to 0$ , $q^n\to 0$ si $|q|<1$ , etc.).
2
J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) pour combiner ces limites.
3
Si une forme indéterminée apparaît, je factorise par le terme prépondérant ou je multiplie par la quantité conjuguée pour la lever.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
4
Je conclus en donnant la limite finale de la suite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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