Comment calculer une somme… : En réécrivant u_k = a_ k+1 -a_k et en… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une somme télescopique ?

En réécrivant $u_k = a_{k+1}-a_k$ et en sommant

Calculer une somme $\sum u_k$ en identifiant $u_k = a_{k+1} - a_k$ pour obtenir une réduction télescopique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ .

L'objectif

Calculer une somme $\sum u_k$ en identifiant $u_k = a_{k+1} - a_k$ pour obtenir une réduction télescopique.

Le principe

Pour toute suite $(a_k)$ , $\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_m$ (somme télescopique).

La méthode

1
Je cherche à écrire $u_k$ sous la forme $a_{k+1} - a_k$ (décomposition en éléments simples si nécessaire).
2
Je vérifie l'identité obtenue par un calcul algébrique direct.
3
J'applique la formule télescopique : $\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_m$ .
4
Je simplifie l'expression finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ .

Étape 1 —

Je cherche à écrire

u_k

sous la forme

a_{k+1} - a_k

(décomposition en éléments simples si nécessaire).

Je cherche à écrire $\dfrac{1}{k(k+1)}$ comme une différence. Par décomposition : $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ , soit $a_k - a_{k+1}$ avec $a_k = 1/k$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'identité obtenue par un calcul algébrique direct.

Je vérifie : $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} = \dfrac{k+1 - k}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k(k+1)}$ .

Étape 3 —

J'applique la formule télescopique :

\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_m

La somme est télescopique : $S = \sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right) = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n+1}$ .

Étape 4 —

Je simplifie l'expression finale.

Donc $S = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$ .

$S = \dfrac{n}{n+1}$ .

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Comment calculer une somme télescopique ?

En réécrivant uk=ak+1−aku_k = a_{k+1}-a_kuk​=ak+1​−ak​ et en sommant

Pour comprendre, fais des exercices !

En réécrivant $u_k = a_{k+1}-a_k$ et en sommant