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Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et un−vn→0u_n-v_n\to 0

L'objectif

Établir la convergence simultanée de deux suites vers une limite commune sans la calculer explicitement.

Le principe

Deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et lim⁡(un−vn)=0\lim(u_n-v_n)=0 ; elles convergent alors vers la même limite ℓ\ell avec un≤ℓ≤vnu_n\le \ell\le v_n pour tout nn.

La méthode
  1. 1
    J'étudie la monotonie de (un)(u_n) en calculant un+1−unu_{n+1}-u_n et je montre qu'elle est croissante.
  2. 2
    J'étudie la monotonie de (vn)(v_n) en calculant vn+1−vnv_{n+1}-v_n et je montre qu'elle est décroissante.
  3. 3
    Je calcule lim⁡n→+∞(un−vn)\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n) et je vérifie que cette limite vaut 00.
  4. 4
    Je conclus par le théorème des suites adjacentes que (un)(u_n) et (vn)(v_n) convergent vers la même limite ℓ\ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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