Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et $u_n-v_n\to 0$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $u_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n\cdot n!}$ pour $n\ge 1$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

La méthode

1
J'étudie la monotonie de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1}-u_n$ et je montre qu'elle est croissante.
2
J'étudie la monotonie de $(v_n)$ en calculant $v_{n+1}-v_n$ et je montre qu'elle est décroissante.
3
Je calcule $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$ et je vérifie que cette limite vaut $0$ .
4
Je conclus par le théorème des suites adjacentes que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $u_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n\cdot n!}$ pour $n\ge 1$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

1

$u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!}>0$ , donc $(u_n)$ est strictement croissante.

2

$v_{n+1}-v_n = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}$ ; un calcul montre $v_{n+1}-v_n = -\frac{1}{n(n+1)(n+1)!}<0$ , donc $(v_n)$ est strictement décroissante.

3

$u_n-v_n = -\frac{1}{n\cdot n!}\to 0$ quand $n\to+\infty$ .

4

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite $\ell$ (qui est $e$ ).

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent vers $e$ .

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Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?

Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et un−vn→0u_n-v_n\to 0un​−vn​→0

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et $u_n-v_n\to 0$