Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ? | MetMat

Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et $u_n-v_n\to 0$

Établir la convergence simultanée de deux suites vers une limite commune sans la calculer explicitement.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $u_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n\cdot n!}$ pour $n\ge 1$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

L'objectif

Établir la convergence simultanée de deux suites vers une limite commune sans la calculer explicitement.

Le principe

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et $\lim(u_n-v_n)=0$ ; elles convergent alors vers la même limite $\ell$ avec $u_n\le \ell\le v_n$ pour tout $n$ .

La méthode

1
J'étudie la monotonie de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1}-u_n$ et je montre qu'elle est croissante.
2
J'étudie la monotonie de $(v_n)$ en calculant $v_{n+1}-v_n$ et je montre qu'elle est décroissante.
3
Je calcule $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$ et je vérifie que cette limite vaut $0$ .
4
Je conclus par le théorème des suites adjacentes que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $u_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n\cdot n!}$ pour $n\ge 1$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Étape 1 —

J'étudie la monotonie de

(u_n)

en calculant

u_{n+1}-u_n

et je montre qu'elle est croissante.

$u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!}>0$ , donc $(u_n)$ est strictement croissante.

Étape 2 —

J'étudie la monotonie de

(v_n)

en calculant

v_{n+1}-v_n

et je montre qu'elle est décroissante.

$v_{n+1}-v_n = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}$ ; un calcul montre $v_{n+1}-v_n = -\frac{1}{n(n+1)(n+1)!}<0$ , donc $(v_n)$ est strictement décroissante.

Étape 3 —

Je calcule

\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)

et je vérifie que cette limite vaut

0

$u_n-v_n = -\frac{1}{n\cdot n!}\to 0$ quand $n\to+\infty$ .

Étape 4 —

Je conclus par le théorème des suites adjacentes que

(u_n)

(v_n)

convergent vers la même limite

\ell

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite $\ell$ (qui est $e$ ).

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent vers $e$ .

Application guidée

Soient $u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$ , $a_n = u_{2n}$ et $b_n = u_{2n+1}$ . Montrer que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.

Application autonome 1

Soient $u_0 = 0$ , $v_0 = 1$ , $u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}$ et $v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}+\frac{v_n-u_n}{4}$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Application autonome 2

Soient $u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Application autonome 3

Soient $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ et $v_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$ pour $n\geq 1$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et un−vn→0u_n-v_n\to 0un​−vn​→0

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant l'une croissante, l'autre décroissante, et $u_n-v_n\to 0$