En sommant la loi conjointe sur une des variables

Déduire les lois de $X$ et $Y$ séparément à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ .

L'objectif

Déduire les lois de $X$ et $Y$ séparément à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ .

Le principe

Par la formule des probabilités totales appliquée au système complet $([Y = y])_{y \in Y(\Omega)}$ : $P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ (et symétriquement pour $Y$ ).

La méthode

1
Je repère le support $X(\Omega)$ et, pour chaque $x \in X(\Omega)$ , les $y$ tels que $P([X = x] \cap [Y = y]) \neq 0$ .
2
Je calcule $P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ pour tout $x \in X(\Omega)$ .
3
Je répète avec l'autre variable : $P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ .
4
Je vérifie que $\sum_{x} P(X = x) = 1$ et $\sum_{y} P(Y = y) = 1$ , et je reconnais éventuellement des lois usuelles.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit le couple $(X, Y)$ de loi donnée par $P(1,1) = P(1,2) = P(2,1) = \frac{1}{4}$ et $P(2,2) = \frac{1}{4}$ . Déterminer les lois marginales.

Étape 1 —

Je repère le support

X(\Omega)

et, pour chaque

x \in X(\Omega)

, les

y

tels que

P([X = x] \cap [Y = y]) \neq 0

$X(\Omega) = Y(\Omega) = \{1, 2\}$ , toutes les probabilités sont non nulles.

Étape 2 —

Je calcule

P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])

pour tout

x \in X(\Omega)

$P(X = 1) = P(1,1) + P(1,2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ et $P(X = 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je répète avec l'autre variable :

P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])

$P(Y = 1) = P(1,1) + P(2,1) = \frac{1}{2}$ et $P(Y = 2) = \frac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

\sum_{x} P(X = x) = 1

\sum_{y} P(Y = y) = 1

, et je reconnais éventuellement des lois usuelles.

Sommes $= 1$ . $X$ et $Y$ suivent la loi uniforme sur $\{1, 2\}$ .

$X, Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, 2\})$ .

Application guidée

Loi conjointe : $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{1}{3j}$ pour $1 \le i \le j \le 3$ , $0$ sinon. Déterminer les lois marginales.

Application autonome 1

Soit $(X, Y)$ à valeurs dans $\mathbb{N}^2$ de loi $P([X = i] \cap [Y = j]) = \frac{1}{e^2} \cdot \frac{1}{i! \, j!}$ pour $(i, j) \in \mathbb{N}^2$ . Déterminer les lois marginales.

Application autonome 2

Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\{0,1\}^2$ avec $P(0,0)=1/8$ , $P(0,1)=3/8$ , $P(1,0)=1/4$ , $P(1,1)=1/4$ . Déterminer les lois marginales.

Application autonome 3

Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\{1,\dots,n\}^2$ de loi $P(X=i,Y=j)=\dfrac{2}{n(n+1)}\mathbf{1}_{i\leq j}$ . Déterminer la loi marginale de $X$ .

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