Comment raisonner par disjonction de cas ?

En partitionnant les configurations et en traitant chaque cas

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

La méthode

1
J'identifie une partition naturelle de l'ensemble de travail (par exemple selon le signe, la parité, l'appartenance à un intervalle…).
2
Je vérifie que la partition est exhaustive : tout élément appartient à au moins un cas.
3
Je traite chaque cas séparément et je montre que la conclusion tient dans chacun.
4
Je conclus que la proposition est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

1

Partition selon le signe de $x$ : cas 1 $x \geqslant 0$ , cas 2 $x < 0$ .

2

Tout réel vérifie $x \geqslant 0$ ou $x < 0$ , la partition est exhaustive.

3

Cas 1 : $|x| = x \geqslant x$ . Cas 2 : $|x| = -x > 0 > x$ , donc $|x| > x$ .

4

Dans les deux cas, $|x| \geqslant x$ , donc $\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

$\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

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