Comment appliquer la formule de Bayes ?

En appliquant $P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$

Calculer la probabilité d'une « cause » $A_i$ sachant un « effet » observé $B$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Maladie : $P(M)=0{,}02$ . Test positif : $P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ . Sachant que le test est positif, probabilité d'être malade ?

L'objectif

Calculer la probabilité d'une « cause » $A_i$ sachant un « effet » observé $B$ .

Le principe

Si $(A_i)_{1\le i\le n}$ est un SCE avec $P(A_i)>0$ et $P(B)>0$ , alors $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P_{A_k}(B)P(A_k)}$ .

La méthode

1
J'identifie le SCE $(A_i)$ des causes possibles et l'événement $B$ observé.
2
Je vérifie que $P(A_i)>0$ pour tout $i$ et que $P(B)>0$ .
3
Je calcule $P(B)$ par la formule des probabilités totales $P(B)=\sum_k P_{A_k}(B)P(A_k)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
4
J'applique la formule de Bayes : $P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Maladie : $P(M)=0{,}02$ . Test positif : $P_M(+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(+)=0{,}03$ . Sachant que le test est positif, probabilité d'être malade ?

Étape 1 —

J'identifie le SCE

(A_i)

des causes possibles et l'événement

B

observé.

SCE des causes : $M$ et $\overline{M}$ ; événement observé : $+$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

P(A_i)>0

pour tout

i

et que

P(B)>0

$P(M)=0{,}02>0$ , $P(\overline{M})=0{,}98>0$ , $P(+)>0$ (à calculer).

Étape 3 —

Je calcule

P(B)

par la formule des probabilités totales

P(B)=\sum_k P_{A_k}(B)P(A_k)

$P(+)=0{,}95\times 0{,}02+0{,}03\times 0{,}98=0{,}0484$ .

Étape 4 —

J'applique la formule de Bayes :

P_B(A_i)=\dfrac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}

$P_+(M)=\dfrac{0{,}95\times 0{,}02}{0{,}0484}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}393$ .

$P_+(M)\approx 0{,}393$ .

Application guidée

Deux urnes : $U_1$ (2R, 3N), $U_2$ (4R, 1N). On choisit une urne au hasard, on tire une rouge. Probabilité que l'urne soit $U_2$ ?

Application autonome 1

Une usine a 3 machines $M_1,M_2,M_3$ produisant 30 %, 50 %, 20 % des pièces. Les taux de défauts sont respectivement 2 %, 1 %, 3 %. Une pièce défectueuse est choisie : probabilité qu'elle vienne de $M_1$ ?

Application autonome 2

Un email est un spam avec probabilité $0{,}3$ . Un spam contient le mot « promo » avec probabilité $0{,}8$ , un courriel normal avec probabilité $0{,}05$ . Sachant que le mot « promo » apparaît, probabilité que l'email soit un spam ?

Application autonome 3

Trois urnes : $U_1$ (2 blanches, 3 noires), $U_2$ (4 blanches, 1 noire), $U_3$ (1 blanche, 4 noires). On choisit une urne équiprobablement puis on tire une boule. Sachant qu'elle est blanche, probabilité d'avoir choisi $U_2$ ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

Comment appliquer la formule de Bayes ? | MetMat

En appliquant PB(Ai)=PAi(B)P(Ai)P(B)P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}PB​(Ai​)=P(B)PAi​​(B)P(Ai​)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P_B(A_i)=\frac{P_{A_i}(B)P(A_i)}{P(B)}$