Comment calculer une limite à… : En développant numérateur et… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une limite à l'aide d'un DL ?

En développant numérateur et dénominateur au même ordre et en simplifiant

Calculer la limite en $0$ d'une expression présentant une forme indéterminée, à l'aide de DL.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ .

L'objectif

Calculer la limite en $0$ d'une expression présentant une forme indéterminée, à l'aide de DL.

Le principe

Si numérateur et dénominateur admettent un DL en $0$ à l'ordre commun $n$ , alors en factorisant la plus petite puissance de $x$ de chaque membre on fait apparaître un équivalent dont la limite est immédiate.

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée en $0$ et je choisis un ordre $n$ suffisant pour que numérateur et dénominateur aient un terme dominant non nul.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
2
J'écris les DL du numérateur et du dénominateur au même ordre $n$ , puis je factorise la plus petite puissance $x^p$ de chacun.
3
Je simplifie et j'en déduis la limite en passant à la limite sur les termes restants.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme indéterminée en

0

et je choisis un ordre

n

suffisant pour que numérateur et dénominateur aient un terme dominant non nul.

Forme $0/0$ en $0$ ; un DL à l'ordre $1$ suffit.

Étape 2 —

J'écris les DL du numérateur et du dénominateur au même ordre

n

, puis je factorise la plus petite puissance

x^p

de chacun.

$\sin x=x+o(x)$ et le dénominateur est $x$ , donc $\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{x+o(x)}{x}=1+o(1)$ .

Étape 3 —

Je simplifie et j'en déduis la limite en passant à la limite sur les termes restants.

Je passe à la limite : $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ .

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