En prouvant monotonie et bornitude

Prouver la convergence d'une suite récurrente ou définie implicitement sans en connaître la limite explicite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

L'objectif

Prouver la convergence d'une suite récurrente ou définie implicitement sans en connaître la limite explicite.

Le principe

Théorème de limite monotone : toute suite croissante majorée converge vers $\sup\{u_n, n\in\mathbb{N}\}$ ; toute suite décroissante minorée converge vers $\inf\{u_n, n\in\mathbb{N}\}$ .

La méthode

1
J'étudie le sens de variation de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1}-u_n$ ou en procédant par récurrence sur $u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
2
Je majore (si croissante) ou minore (si décroissante) la suite, souvent par récurrence.
3
Je conclus par le théorème de limite monotone que la suite converge vers une limite finie $\ell$ .
4
Si pertinent, je détermine $\ell$ en passant à la limite dans la relation de récurrence (l'équation $\ell = f(\ell)$ donne les candidats).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Étape 1 —

J'étudie le sens de variation de

(u_n)

en calculant

u_{n+1}-u_n

ou en procédant par récurrence sur

u_{n+1}-u_n

\frac{u_{n+1}}{u_n}

Par récurrence, $u_n\ge 0$ pour tout $n$ . Puis $u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n+2}-u_n$ ; une récurrence montre que $u_{n+1}\ge u_n$ (croissante) en utilisant que $u_n\le 2$ .

Étape 2 —

Je majore (si croissante) ou minore (si décroissante) la suite, souvent par récurrence.

Par récurrence, je montre $u_n\le 2$ : $u_0 = 0\le 2$ , et si $u_n\le 2$ , alors $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\le \sqrt{4}=2$ .

Étape 3 —

Je conclus par le théorème de limite monotone que la suite converge vers une limite finie

\ell

$(u_n)$ est croissante majorée par $2$ , donc elle converge vers une limite $\ell\in\mathbb{R}$ par le théorème de limite monotone.

Étape 4 —

Si pertinent, je détermine

\ell

en passant à la limite dans la relation de récurrence (l'équation

\ell = f(\ell)

donne les candidats).

En passant à la limite, $\ell = \sqrt{\ell+2}$ avec $\ell\ge 0$ , d'où $\ell^2-\ell-2=0$ , soit $\ell = 2$ (l'autre racine $-1$ est exclue).

$(u_n)$ converge vers $2$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Application autonome 2

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ définie par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 3

Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}+1$ . Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

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