Comment montrer la convergence par le théorème de limite monotone ?

En prouvant monotonie et bornitude

L'objectif

Prouver la convergence d'une suite récurrente ou définie implicitement sans en connaître la limite explicite.

Le principe

Théorème de limite monotone : toute suite croissante majorée converge vers $\sup\{u_n, n\in\mathbb{N}\}$ ; toute suite décroissante minorée converge vers $\inf\{u_n, n\in\mathbb{N}\}$ .

La méthode

1
J'étudie le sens de variation de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1}-u_n$ ou en procédant par récurrence sur $u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
2
Je majore (si croissante) ou minore (si décroissante) la suite, souvent par récurrence.
3
Je conclus par le théorème de limite monotone que la suite converge vers une limite finie $\ell$ .
4
Si pertinent, je détermine $\ell$ en passant à la limite dans la relation de récurrence (l'équation $\ell = f(\ell)$ donne les candidats).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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