Comment montrer que deux… : En montrant dim(F+G)=dim F+dim G — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux sous-espaces sont en somme directe ?

En montrant $\dim(F+G)=\dim F+\dim G$

Prouver que $F$ et $G$ sont en somme directe via une égalité dimensionnelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ et $G=\mathrm{Vect}((1,1,0))$ . Montrer $F\oplus G$ .

L'objectif

Prouver que $F$ et $G$ sont en somme directe via une égalité dimensionnelle.

Le principe

En dimension finie, $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ , donc $F$ et $G$ sont en somme directe $\iff \dim(F+G)=\dim F+\dim G$ .

La méthode

1
On calcule $\dim F$ et $\dim G$ en exhibant des bases de $F$ et $G$ .
2
On calcule $\dim(F+G)$ , souvent en prenant la concaténation de bases de $F$ et $G$ et en déterminant son rang par pivot.
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
3
On vérifie l'égalité $\dim(F+G)=\dim F+\dim G$ : si elle est vraie, alors $F\cap G=\{0_E\}$ et $F$ et $G$ sont en somme directe.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\mathrm{Vect}((1,0,1),(0,1,1))$ et $G=\mathrm{Vect}((1,1,0))$ . Montrer $F\oplus G$ .

Étape 1 —

On calcule

\dim F

\dim G

en exhibant des bases de

F

G

$((1,0,1),(0,1,1))$ est libre donc $\dim F=2$ . $((1,1,0))$ non nul donc $\dim G=1$ .

Étape 2 —

On calcule

\dim(F+G)

, souvent en prenant la concaténation de bases de

F

G

et en déterminant son rang par pivot.

Je calcule $\dim(F+G)$ via le rang de la famille $(\,(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\,)$ . Matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ; $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : ligne $(0,1,-1)$ ; puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ : ligne $(0,0,-2)$ . Trois pivots, rang $3$ , donc $\dim(F+G)=3$ .

Étape 3 —

On vérifie l'égalité

\dim(F+G)=\dim F+\dim G

: si elle est vraie, alors

F\cap G=\{0_E\}

F

G

sont en somme directe.

$\dim F+\dim G=2+1=3=\dim(F+G)$ , donc $F$ et $G$ sont en somme directe.

$F\oplus G$ existe et $F\oplus G=\mathbb{R}^3$ .

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Comment montrer que deux sous-espaces sont en somme directe ?

En montrant dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G\dim(F+G)=\dim F+\dim Gdim(F+G)=dimF+dimG

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $\dim(F+G)=\dim F+\dim G$