Prouver que F+GF+GF+G est une somme directe, soit via F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\}F∩G={0E}, soit via l'égalité des dimensions.
Choisissez une approche :
En montrant F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\}F∩G={0E}
On prend x∈F∩Gx\in F\cap Gx∈F∩G et on prouve x=0Ex=0_Ex=0E : c'est la caractérisation directe de la somme directe.
En montrant dim(F+G)=dimF+dimG\dim(F+G)=\dim F+\dim Gdim(F+G)=dimF+dimG
En dimension finie, l'égalité dim(F+G)=dimF+dimG\dim(F+G)=\dim F+\dim Gdim(F+G)=dimF+dimG équivaut à F∩G={0}F\cap G=\{0\}F∩G={0}, donc à la somme directe.