Comment calculer l'espérance et la variance d'une VAR discrète ?

La loi géométrique a une espérance et une variance (voir méthodes précédentes).

$E(X)=\sum_{k\geq 1} k(1-p)^{k-1}p = p \sum_{k\geq 1} k q^{k-1}$ avec $q=1-p$ ; série géométrique dérivée : $\sum_{k\geq 1}k q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p^2}$. Donc $E(X)=\frac{1}{p}$.

$E(X(X-1))=\sum_{k\geq 1} k(k-1) q^{k-1} p = pq \sum_{k\geq 2} k(k-1)q^{k-2} = pq \cdot \frac{2}{(1-q)^3} = \frac{2q}{p^2}$ ; puis $E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}$.

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{2q+p-1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$.