En appliquant $E(X)=\sum x P(X=x)$ puis $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ (König-Huygens)

L'objectif

Calculer numériquement $E(X)$ et $V(X)$ pour une VAR discrète.

Le principe

Sous réserve d'existence (convergence absolue), $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} x P(X=x)$ et, par la formule de Koenig-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ où $E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ .

La méthode

1
Je justifie l'existence de $E(X)$ et de $E(X^2)$ par convergence absolue des séries associées.
Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ?Voir
2
Je calcule $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} x P(X=x)$ (série géométrique dérivée, série exponentielle, somme finie…).
Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?Voir
3
Je calcule $E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ par transfert, souvent via l'identité $x^2=x(x-1)+x$ .
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?Voir
4
J'applique Koenig-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .
Comment calculer la variance et l'écart-type (König-Huygens) ?Voir

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Application guidée 1

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Application guidée 2

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, n\}$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ de loi $P(X=k)=\dfrac{1}{2^k}$ pour $k\geq 1$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E(X)$ et $V(X)$ via la définition.

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En appliquant E(X)=∑xP(X=x)E(X)=\sum x P(X=x)E(X)=∑xP(X=x) puis V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2 (König-Huygens)

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En appliquant $E(X)=\sum x P(X=x)$ puis $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ (König-Huygens)