Comment appliquer la formule… : En appliquant P(B)=sum_ n≥ 0 P_ A_n (B)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales avec un SCE dénombrable ?

En appliquant $P(B)=\sum_{n\geq 0} P_{A_n}(B) P(A_n)$ avec $(A_n)$ SCE dénombrable non négligeable

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le conditionnant par les événements d'un SCE dénombrable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile pour la première fois ; soit $N$ le rang de ce pile. On lance alors $N$ dés équilibrés à 6 faces. Calculer la probabilité $P(B)$ où $B$ est « obtenir au moins un 6 parmi les dés lancés ».

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le conditionnant par les événements d'un SCE dénombrable.

Le principe

Soit $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ un système complet d'événements non négligeables (les $A_n$ sont deux à deux disjoints, d'union $\Omega$ , et $P(A_n)>0$ ). Alors $P(B)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(B\cap A_n)=\sum_{n=0}^{+\infty} P_{A_n}(B) P(A_n)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ non négligeables adapté au problème (le plus souvent indexé par le rang d'un premier succès, le résultat d'un premier tirage, etc.).
2
Je vérifie les hypothèses : les $A_n$ sont deux à deux disjoints, $\bigcup_{n\geq 0} A_n = \Omega$ et $\forall n, P(A_n)>0$ .
3
Pour chaque $n$ , je calcule $P(A_n)$ et la probabilité conditionnelle $P_{A_n}(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
4
J'applique la formule des probabilités totales : $P(B)=\sum_{n=0}^{+\infty} P_{A_n}(B) P(A_n)$ et je calcule la somme.
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements

(A_n)_{n\in \mathbb{N}}

non négligeables adapté au problème (le plus souvent indexé par le rang d'un premier succès, le résultat d'un premier tirage, etc.).

Je choisis le SCE $(A_n)_{n\geq 1}$ avec $A_n$ : « le premier pile apparaît au rang $n$ ».

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses : les

A_n

sont deux à deux disjoints,

\bigcup_{n\geq 0} A_n = \Omega

\forall n, P(A_n)>0

Les $A_n$ sont deux à deux disjoints, d'union $\Omega$ (presque sûrement), et $P(A_n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n>0$ .

Étape 3 —

Pour chaque

n

, je calcule

P(A_n)

et la probabilité conditionnelle

P_{A_n}(B)

$P_{A_n}(B)=1-\left(\frac{5}{6}\right)^n$ (aucun 6 sur $n$ dés).

Étape 4 —

J'applique la formule des probabilités totales :

P(B)=\sum_{n=0}^{+\infty} P_{A_n}(B) P(A_n)

et je calcule la somme.

$P(B)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\right)\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n - \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{5}{12}\right)^n = 1 - \frac{5/12}{1-5/12} = 1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$ .

$P(B)=\frac{2}{7}$ .

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Comment appliquer la formule des probabilités totales avec un SCE dénombrable ?

En appliquant P(B)=∑n≥0PAn(B)P(An)P(B)=\sum_{n\geq 0} P_{A_n}(B) P(A_n)P(B)=∑n≥0​PAn​​(B)P(An​) avec (An)(A_n)(An​) SCE dénombrable non négligeable

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(B)=\sum_{n\geq 0} P_{A_n}(B) P(A_n)$ avec $(A_n)$ SCE dénombrable non négligeable