En factorisant ou simplifiant l'expression (terme dominant)

Transformer l'expression pour faire apparaître une forme déterminée après simplification.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}$ .

L'objectif

Transformer l'expression pour faire apparaître une forme déterminée après simplification.

Le principe

Dans un quotient ou une différence, mettre en facteur le terme de plus forte croissance permet de ramener l'étude à celle d'un quotient de limites finies.

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée (FI : $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ ou $\frac{0}{0}$ ).
2
Je repère le terme dominant au numérateur et au dénominateur (ou dans la différence).
3
Je factorise chaque membre par son terme dominant et je simplifie.
4
Je calcule la limite de l'expression simplifiée et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme indéterminée (FI :

\frac{\infty}{\infty}

\infty-\infty

\frac{0}{0}

Je calcule $\lim_{x\to+\infty}(2x^3-x+1)=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}(x^3+5x^2)=+\infty$ : FI $\frac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

Je repère le terme dominant au numérateur et au dénominateur (ou dans la différence).

Les termes dominants sont $2x^3$ au numérateur et $x^3$ au dénominateur.

Étape 3 —

Je factorise chaque membre par son terme dominant et je simplifie.

Je factorise : $\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}=\dfrac{x^3(2-1/x^2+1/x^3)}{x^3(1+5/x)}=\dfrac{2-1/x^2+1/x^3}{1+5/x}$ .

Étape 4 —

Je calcule la limite de l'expression simplifiée et je conclus.

Je calcule $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2-1/x^2+1/x^3}{1+5/x}=\dfrac{2}{1}=2$ et je conclus.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}=2$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x+x^5}{\mathrm{e}^x-x^3}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x})$ .

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