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Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?

En encadrant unu_n par deux suites de même limite

L'objectif

Calculer la limite d'une suite difficile à manipuler directement en l'encadrant par deux suites de limites connues et égales.

Le principe

Théorème des gendarmes : si ∃N∈N,∀n≥N,an≤un≤bn\exists N\in\mathbb{N}, \forall n\ge N, a_n\le u_n\le b_n et lim⁡an=lim⁡bn=ℓ∈R\lim a_n = \lim b_n = \ell\in\mathbb{R}, alors (un)(u_n) converge et lim⁡un=ℓ\lim u_n = \ell.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la partie oscillante ou complexe de unu_n (souvent sin⁡\sin, cos⁡\cos, (−1)n(-1)^n, partie entière) et je la majore/minore par des constantes.
  2. 2
    Je construis l'encadrement an≤un≤bna_n\le u_n\le b_n valable à partir d'un rang NN.
  3. 3
    Je calcule lim⁡an\lim a_n et lim⁡bn\lim b_n et je vérifie qu'elles sont égales à une même valeur ℓ\ell.
  4. 4
    Je conclus par le théorème des gendarmes que un→ℓu_n\to \ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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