En encadrant $u_n$ par deux suites de même limite

Calculer la limite d'une suite difficile à manipuler directement en l'encadrant par deux suites de limites connues et égales.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une suite difficile à manipuler directement en l'encadrant par deux suites de limites connues et égales.

Le principe

Théorème des gendarmes : si $\exists N\in\mathbb{N}, \forall n\ge N, a_n\le u_n\le b_n$ et $\lim a_n = \lim b_n = \ell\in\mathbb{R}$ , alors $(u_n)$ converge et $\lim u_n = \ell$ .

La méthode

1
J'identifie la partie oscillante ou complexe de $u_n$ (souvent $\sin$ , $\cos$ , $(-1)^n$ , partie entière) et je la majore/minore par des constantes.
2
Je construis l'encadrement $a_n\le u_n\le b_n$ valable à partir d'un rang $N$ .
3
Je calcule $\lim a_n$ et $\lim b_n$ et je vérifie qu'elles sont égales à une même valeur $\ell$ .
4
Je conclus par le théorème des gendarmes que $u_n\to \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ .

Étape 1 —

J'identifie la partie oscillante ou complexe de

u_n

(souvent

\sin

\cos

(-1)^n

, partie entière) et je la majore/minore par des constantes.

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $-1\le \sin(n)\le 1$ .

Étape 2 —

Je construis l'encadrement

a_n\le u_n\le b_n

valable à partir d'un rang

N

En divisant par $n>0$ : $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin(n)}{n}\le \frac{1}{n}$ pour tout $n\ge 1$ .

Étape 3 —

Je calcule

\lim a_n

\lim b_n

et je vérifie qu'elles sont égales à une même valeur

\ell

$\lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0$ .

Étape 4 —

Je conclus par le théorème des gendarmes que

u_n\to \ell

Par le théorème des gendarmes, $u_n\to 0$ .

$\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

Application guidée

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} v_n$ avec $v_n = \frac{\lfloor n x\rfloor}{n}$ où $x\in\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} w_n$ avec $w_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+k}$ .

Application autonome 2

Déterminer $\lim_{n\to +\infty} u_n$ avec $u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n^2+k^2}$ .

Application autonome 3

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n=\dfrac{(-1)^n n + \cos(n)}{n^2+1}$ .

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En encadrant unu_nun​ par deux suites de même limite

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