Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?

En encadrant $u_n$ par deux suites de même limite

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ .

La méthode

1
J'identifie la partie oscillante ou complexe de $u_n$ (souvent $\sin$ , $\cos$ , $(-1)^n$ , partie entière) et je la majore/minore par des constantes.
2
Je construis l'encadrement $a_n\le u_n\le b_n$ valable à partir d'un rang $N$ .
3
Je calcule $\lim a_n$ et $\lim b_n$ et je vérifie qu'elles sont égales à une même valeur $\ell$ .
4
Je conclus par le théorème des gendarmes que $u_n\to \ell$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ .

1

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $-1\le \sin(n)\le 1$ .

2

En divisant par $n>0$ : $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin(n)}{n}\le \frac{1}{n}$ pour tout $n\ge 1$ .

3

$\lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0$ .

4

Par le théorème des gendarmes, $u_n\to 0$ .

$\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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