Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

La méthode

1
Je suppose $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ vérifiant $AX=0$ .
2
Je manipule le système : opérations élémentaires, lecture des équations ligne par ligne ou utilisation d'une propriété de $A$ .
3
Je déduis que toutes les coordonnées de $X$ sont nulles, donc $X=0$ .
4
Je conclus : le noyau de $A$ est trivial ( $\{0\}$ ), donc $A$ est inversible.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

1

Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ tel que $AX=0$ .

2

Les équations sont $x+y+z=0$ , $y+z=0$ , $z=0$ .

3

La 3e donne $z=0$ , la 2e donne $y=0$ , la 1re donne $x=0$ , donc $X=0$ .

4

$AX=0\Rightarrow X=0$ : $A$ est inversible.

$A$ est inversible.

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Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

En montrant que AX=0⇒X=0AX=0\Rightarrow X=0AX=0⇒X=0

Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$