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Comment montrer qu'une matrice est inversible ? | MetMat

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Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$

L'objectif

Démontrer l'inversibilité de $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sans calculer explicitement l'inverse.

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $A$ est inversible si et seulement si le système homogène $AX=0$ admet uniquement la solution nulle $X=0$ .

La méthode

1
Je suppose $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ vérifiant $AX=0$ .
2
Je manipule le système : opérations élémentaires, lecture des équations ligne par ligne ou utilisation d'une propriété de $A$ .
3
Je déduis que toutes les coordonnées de $X$ sont nulles, donc $X=0$ .
4
Je conclus : $\ker$ trivial donc $A$ est inversible.

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Application guidée 1

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application guidée 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2+2A+I_n=0$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 1

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 2

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&5\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3=A+I_n$ . Montrer que $A$ est inversible.

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En montrant que AX=0⇒X=0AX=0\Rightarrow X=0AX=0⇒X=0

Évalue la méthode

En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$