Comment montrer la convergence d'une intégrale impropre ?

En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

La méthode

1
On repère la ou les bornes impropres de l'intégrale (borne infinie ou point où $f$ n'est pas définie / n'est pas continue).
2
On vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle semi-ouvert considéré, puis on introduit $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $x\in[a,b[$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
On calcule $F(x)$ à l'aide d'une primitive ou d'une majoration simple.
4
On étudie $\lim_{x\to b^-} F(x)$ : si la limite existe et est finie, l'intégrale converge, sinon elle diverge.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

1

La borne impropre est $+\infty$ , l'intégrande $t\mapsto 1/t^2$ est continue sur $[1,+\infty[$ .

2

Je pose $F(x)=\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ pour $x\geq 1$ .

3

Une primitive de $1/t^2$ est $-1/t$ , donc $F(x)=\left[-\frac{1}{t}\right]_1^x = 1-\frac{1}{x}$ .

4

Quand $x\to +\infty$ , $F(x)\to 1$ , donc l'intégrale converge et vaut $1$ .

L'intégrale converge et $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}=1$ .

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Comment montrer la convergence d'une intégrale impropre ?

En étudiant la limite de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t∫ax​f(t)dt quand x→b−x\to b^-x→b−

Pour comprendre, passons aux exercices.

En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$