En appliquant les règles (produit, quotient, puissance ; pas d'addition ni composition)

Combiner plusieurs équivalents sans commettre d'erreur classique.

L'objectif

Combiner plusieurs équivalents sans commettre d'erreur classique.

Le principe

Si $u_n \sim u'_n$ et $v_n \sim v'_n$ , alors $u_n v_n \sim u'_n v'_n$ , $\dfrac{u_n}{v_n} \sim \dfrac{u'_n}{v'_n}$ (sous réserve de non-annulation) et $u_n^\alpha \sim (u'_n)^\alpha$ pour $\alpha$ réel fixé et $u_n > 0$ . ATTENTION : on ne somme JAMAIS des équivalents, on ne les compose pas avec $\ln$ , $\exp$ , etc., et on ne les soustrait pas.

La méthode

1
On décompose l'expression en produit, quotient ou puissance de facteurs dont on connaît des équivalents simples.
2
On applique les règles de compatibilité : produit et quotient ( $u'_n v'_n$ , $u'_n / v'_n$ ), puissance à exposant réel fixe ( $(u'_n)^\alpha$ ). On vérifie les hypothèses de non-annulation et de positivité pour les puissances non entières.
3
On rappelle les interdits : pas d'addition/soustraction d'équivalents, pas de composition par $\ln$ , $\exp$ ou toute fonction non polynomiale ; en cas de somme $u_n + v_n$ , on garde le terme dominant (si l'un est négligeable devant l'autre) ou on passe par un DL/l'écriture $= v_n + o(v_n)$ .
Comment calculer la somme et le produit de DL ?Voir
4
On conclut avec l'équivalent simplifié de l'expression.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Trouver un équivalent simple de $u_n = (n + 1)(2n^2 + 3)$ en $+\infty$ .

Étape 1 —

On décompose l'expression en produit, quotient ou puissance de facteurs dont on connaît des équivalents simples.

Je décompose en produit : $n+1$ et $2n^2+3$ .

Étape 2 —

On applique les règles de compatibilité : produit et quotient (

u'_n v'_n

u'_n / v'_n

), puissance à exposant réel fixe (

(u'_n)^\alpha

). On vérifie les hypothèses de non-annulation et de positivité pour les puissances non entières.

$n + 1 \sim n$ et $2n^2 + 3 \sim 2n^2$ ; par produit, $u_n \sim n \cdot 2n^2 = 2n^3$ .

Étape 3 —

On rappelle les interdits : pas d'addition/soustraction d'équivalents, pas de composition par

\ln

\exp

ou toute fonction non polynomiale ; en cas de somme

u_n + v_n

, on garde le terme dominant (si l'un est négligeable devant l'autre) ou on passe par un DL/l'écriture

= v_n + o(v_n)

Rappel : je n'ai PAS additionné les équivalents de $n$ et de $1$ séparément, j'ai gardé l'expression entière $n+1$ avant de l'équivaler.

Étape 4 —

On conclut avec l'équivalent simplifié de l'expression.

Donc $u_n \sim 2n^3$ .

$u_n \sim 2n^3$ .

Application guidée

Trouver un équivalent de $u_n = \sqrt{n^2 + n} - n$ en $+\infty$ (piège : soustraction interdite).

Application autonome 1

Piège classique : peut-on déduire $\ln(1 + 1/n) \sim \ln 1 = 0$ à partir de $1 + 1/n \sim 1$ ?

Application autonome 2

Trouver un équivalent simple de $u_n=\dfrac{n^3+2n}{n+1}$ en $+\infty$ .

Application autonome 3

Trouver un équivalent de $u_n=\sqrt{n+\ln n}$ en $+\infty$ .

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