Comment déterminer la loi de… : En calculant P(Y=y)=sum_ g(x)=y P(X=x) — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En calculant $P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)$

Déterminer la loi de $Y=g(X)$ à partir de la loi de $X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une VAR telle que $X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2\}$ avec $P(X=k)=\frac{1}{5}$ pour chaque $k$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $Y=g(X)$ à partir de la loi de $X$ .

Le principe

Pour $y\in Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ , on a $[Y=y]=\bigsqcup_{x\in X(\Omega),\ g(x)=y}[X=x]$ , d'où par additivité $P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\ g(x)=y} P(X=x)$ .

La méthode

1
Je détermine l'ensemble $Y(\Omega)=\{g(x),\ x\in X(\Omega)\}$ .
2
Pour chaque $y\in Y(\Omega)$ , j'identifie tous les antécédents $x\in X(\Omega)$ tels que $g(x)=y$ et je somme les probabilités $P(X=x)$ correspondantes.
3
Je vérifie que $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ une VAR telle que $X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2\}$ avec $P(X=k)=\frac{1}{5}$ pour chaque $k$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

Étape 1 —

Je détermine l'ensemble

Y(\Omega)=\{g(x),\ x\in X(\Omega)\}

$g(x)=x^2$ donne $Y(\Omega)=\{0,1,4\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

y\in Y(\Omega)

, j'identifie tous les antécédents

x\in X(\Omega)

tels que

g(x)=y

et je somme les probabilités

P(X=x)

correspondantes.

$P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{5}$ ; $P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac{2}{5}$ ; $P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=\frac{2}{5}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1

$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=1$ , la loi est cohérente.

$P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

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Comment déterminer la loi de Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X) ?

En calculant P(Y=y)=∑g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑g(x)=y​P(X=x)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En calculant $P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)$