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Comment étudier la convergence via les extraites u2nu_{2n} et u2n+1u_{2n+1} ?

En montrant que (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}) convergent vers la même limite

L'objectif

Traiter la convergence d'une suite alternée ou définie par une relation où les termes pairs et impairs ont un comportement distinct.

Le principe

Si (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}) convergent toutes deux vers la même limite ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge vers ℓ\ell ; réciproquement, si elles convergent vers des limites différentes, (un)(u_n) diverge.

La méthode
  1. 1
    J'étudie séparément la sous-suite (u2n)(u_{2n}) des termes de rang pair (monotonie, majoration, calcul de limite).
  2. 2
    J'étudie séparément la sous-suite (u2n+1)(u_{2n+1}) des termes de rang impair.
  3. 3
    Je compare les deux limites obtenues : si elles sont égales à ℓ\ell, alors (un)(u_n) converge vers ℓ\ell ; sinon, (un)(u_n) diverge.
  4. 4
    Je conclus sur la convergence ou la divergence de (un)(u_n).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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