Comment exploiter la formule… : En calculant dim F, dim G, dim(Fcap G)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment exploiter la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ ?

En calculant $\dim F$ , $\dim G$ , $\dim(F\cap G)$ pour en déduire $\dim(F+G)$

Calculer $\dim(F+G)$ (ou $\dim(F\cap G)$ ) grâce à la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ et $G=\{(x,y,z)\mid x-y=0\}$ . Calculer $\dim(F+G)$ .

L'objectif

Calculer $\dim(F+G)$ (ou $\dim(F\cap G)$ ) grâce à la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ .

Le principe

Formule de Grassmann (admise au BO) : si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie, alors $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ .

La méthode

1
On calcule $\dim F$ et $\dim G$ en exhibant des bases de $F$ et $G$ .
2
On détermine $\dim(F\cap G)$ en résolvant le système qui caractérise $F\cap G$ (équations définissant $F$ et $G$ simultanément) et en trouvant une base du sous-espace solution.
3
On applique la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ pour conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , $F=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ et $G=\{(x,y,z)\mid x-y=0\}$ . Calculer $\dim(F+G)$ .

Étape 1 —

On calcule

\dim F

\dim G

en exhibant des bases de

F

G

$F$ est un hyperplan de $\mathbb{R}^3$ , $\dim F=2$ ; de même $\dim G=2$ .

Étape 2 —

On détermine

\dim(F\cap G)

en résolvant le système qui caractérise

F\cap G

(équations définissant

F

G

simultanément) et en trouvant une base du sous-espace solution.

$F\cap G$ est défini par $\begin{cases} x+y+z=0 \\ x-y=0 \end{cases}$ . On tire $x=y$ puis $2x+z=0$ , donc $z=-2x$ . Paramétrage : $(x,x,-2x)=x(1,1,-2)$ . $\dim(F\cap G)=1$ .

Étape 3 —

On applique la formule

\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)

pour conclure.

$\dim(F+G)=2+2-1=3=\dim(\mathbb{R}^3)$ , donc $F+G=\mathbb{R}^3$ .

$\dim(F+G)=3$ et $F+G=\mathbb{R}^3$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter la formule dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)dim(F+G)=dimF+dimG−dim(F∩G) ?

En calculant dim⁡F\dim FdimF, dim⁡G\dim GdimG, dim⁡(F∩G)\dim(F\cap G)dim(F∩G) pour en déduire dim⁡(F+G)\dim(F+G)dim(F+G)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter la formule $\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)$ ?

En calculant $\dim F$ , $\dim G$ , $\dim(F\cap G)$ pour en déduire $\dim(F+G)$