Comment utiliser la linéarité… : En décomposant X en somme… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser la linéarité de l'espérance ?

En décomposant $X$ en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

Calculer $E(X)$ sans déterminer explicitement la loi de $X$ , grâce à une décomposition en somme.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E(X)$ en décomposant $X$ .

L'objectif

Calculer $E(X)$ sans déterminer explicitement la loi de $X$ , grâce à une décomposition en somme.

Le principe

La linéarité de l'espérance stipule que pour toutes VAR finies $X,Y$ et tous réels $a,b$ : $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ ; de plus pour tout événement $A$ , $E(1_A)=P(A)$ .

La méthode

1
Je cherche à écrire $X=\sum_{i=1}^{n} a_i X_i$ où les $X_i$ sont des VAR plus simples (indicatrices, Bernoulli, variables connues), en justifiant soigneusement l'égalité.
Comment reconnaître et utiliser une loi de Bernoulli ?Voir
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Je calcule l'espérance de chaque $X_i$ : si $X_i=1_{A_i}$ alors $E(X_i)=P(A_i)$ , si $X_i\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ alors $E(X_i)=p$ , etc.
Comment calculer l'espérance et la variance d'une VAR discrète ?Voir
3
J'applique la linéarité : $E(X)=\sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i)$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E(X)$ en décomposant $X$ .

Étape 1 —

Je cherche à écrire

X=\sum_{i=1}^{n} a_i X_i

où les

X_i

sont des VAR plus simples (indicatrices, Bernoulli, variables connues), en justifiant soigneusement l'égalité.

$X$ représente le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ . On écrit $X=\sum_{i=1}^{n} X_i$ où $X_i\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ vaut $1$ si la $i$ -ème épreuve est un succès.

Étape 2 —

Je calcule l'espérance de chaque

X_i

: si

X_i=1_{A_i}

alors

E(X_i)=P(A_i)

, si

X_i\hookrightarrow\mathcal{B}(p)

alors

E(X_i)=p

, etc.

Pour chaque $i$ , $E(X_i)=1\cdot P(X_i=1)+0\cdot P(X_i=0)=p$ .

Étape 3 —

J'applique la linéarité :

E(X)=\sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i)

et je conclus.

Par linéarité, $E(X)=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)=np$ .

$E(X)=np$ .

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Comment utiliser la linéarité de l'espérance ?

En décomposant XXX en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $X$ en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$