En décomposant $X$ en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

L'objectif

Calculer $E(X)$ sans déterminer explicitement la loi de $X$ , grâce à une décomposition en somme.

Le principe

La linéarité de l'espérance stipule que pour toutes VAR finies $X,Y$ et tous réels $a,b$ : $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ ; de plus pour tout événement $A$ , $E(1_A)=P(A)$ .

La méthode

1
Je cherche à écrire $X=\sum_{i=1}^{n} a_i X_i$ où les $X_i$ sont des VAR plus simples (indicatrices, Bernoulli, variables connues), en justifiant soigneusement l'égalité.
Comment reconnaître et utiliser une loi de Bernoulli ?Voir
2
Je calcule l'espérance de chaque $X_i$ : si $X_i=1_{A_i}$ alors $E(X_i)=P(A_i)$ , si $X_i\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ alors $E(X_i)=p$ , etc.
Comment calculer l'espérance et la variance d'une VAR discrète ?Voir
3
J'applique la linéarité : $E(X)=\sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i)$ et je conclus.

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Application guidée 1

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E(X)$ en décomposant $X$ .

Application guidée 2

Dans une classe de 30 élèves, chaque élève a indépendamment une probabilité $\frac{1}{5}$ d'être absent. Soit $X$ le nombre d'absents. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 1

On tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne contenant 4 blanches et 6 noires. Soit $X$ le nombre de boules blanches obtenues. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 2

On distribue aléatoirement $n$ lettres dans $n$ enveloppes (permutation uniforme). Soit $X$ le nombre de lettres à la bonne enveloppe. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 3

On lance $10$ dés équilibrés à $6$ faces. Soit $X$ la somme des résultats. Calculer $E(X)$ .

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En décomposant XXX en somme (indicatrices, binomiales…) et en appliquant E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

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