Comment appliquer la formule de Taylor à un polynôme ?

En développant $P(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^k$

Réécrire un polynôme $P$ sur la base des $(X - a)^k$ afin d'étudier $P$ autour de $a$ ou d'effectuer un changement de variable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire $P(X) = X^3 - X + 1$ suivant les puissances de $(X - 1)$ .

L'objectif

Réécrire un polynôme $P$ sur la base des $(X - a)^k$ afin d'étudier $P$ autour de $a$ ou d'effectuer un changement de variable.

Le principe

Formule de Taylor pour un polynôme : si $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ et $a \in \mathbb{R}$ , alors $P(X) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!} (X - a)^k$ (égalité exacte, sans reste).

La méthode

1
Je détermine $n = \deg(P)$ et le point $a$ autour duquel je veux développer.
2
Je calcule successivement $P(a), P'(a), \dots, P^{(n)}(a)$ .
3
Je forme la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X - a)^k$ et je vérifie la cohérence en remplaçant $X$ par une valeur simple.
4
Je conclus en écrivant $P$ sous la forme demandée, prête pour l'étude locale ou le changement de variable $Y = X - a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Écrire $P(X) = X^3 - X + 1$ suivant les puissances de $(X - 1)$ .

Étape 1 —

Je détermine

n = \deg(P)

et le point

a

autour duquel je veux développer.

$n = 3$ et $a = 1$ .

Étape 2 —

Je calcule successivement

P(a), P'(a), \dots, P^{(n)}(a)

$P(1) = 1 - 1 + 1 = 1$ . $P'(X) = 3X^2 - 1$ , $P'(1) = 2$ . $P''(X) = 6X$ , $P''(1) = 6$ . $P'''(X) = 6$ , $P'''(1) = 6$ .

Étape 3 —

Je forme la somme

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X - a)^k

et je vérifie la cohérence en remplaçant

X

par une valeur simple.

Formule : $P(X) = 1 + \dfrac{2}{1!}(X - 1) + \dfrac{6}{2!}(X - 1)^2 + \dfrac{6}{3!}(X - 1)^3 = 1 + 2(X - 1) + 3(X - 1)^2 + (X - 1)^3$ . Vérification avec $X = 2$ : $1 + 2 + 3 + 1 = 7 = 2^3 - 2 + 1$ , cohérent.

Étape 4 —

Je conclus en écrivant

P

sous la forme demandée, prête pour l'étude locale ou le changement de variable

Y = X - a

Je conclus : $P(X) = 1 + 2(X - 1) + 3(X - 1)^2 + (X - 1)^3$ .

$P(X) = 1 + 2(X - 1) + 3(X - 1)^2 + (X - 1)^3$ .

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Comment appliquer la formule de… : En développant P(X) = sum P^ (k) (a)/k!… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer la formule de Taylor à un polynôme ?

En développant P(X)=∑P(k)(a)/k! (X−a)kP(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^kP(X)=∑P(k)(a)/k!(X−a)k

Pour comprendre, fais des exercices !

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