Comment montrer qu'une VAR… : En montrant l'existence de E(X^2) par… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une VAR admet une variance ?

En montrant l'existence de $E(X^2)$ par domination ou calcul direct

Justifier que $X$ admet une variance en montrant que $X^2$ admet une espérance.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Montrer que $X$ admet une variance.

L'objectif

Justifier que $X$ admet une variance en montrant que $X^2$ admet une espérance.

Le principe

$X$ admet une variance si et seulement si $X^2$ admet une espérance, i.e. la série $\sum_{x \in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ converge (absolument). Comme $|x|\leq 1 + x^2$ , l'existence de $E(X^2)$ entraîne celle de $E(X)$ , donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est bien défini.

La méthode

1
Je vérifie si $X(\Omega)$ est fini (la variance existe automatiquement) ou infini (il faut justifier la convergence).
2
J'applique le théorème de transfert à $g(x)=x^2$ : j'étudie la série à termes positifs $\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ .
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?Voir
3
Je justifie la convergence (par d'Alembert, par comparaison à une série de Riemann ou géométrique, ou par domination $x^2 \leq Y^2$ avec $Y$ admettant un moment d'ordre 2).
Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?Voir
4
Je conclus que $E(X^2)$ existe, donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est bien définie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Étape 1 —

Je vérifie si

X(\Omega)

est fini (la variance existe automatiquement) ou infini (il faut justifier la convergence).

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ est infini.

Étape 2 —

J'applique le théorème de transfert à

g(x)=x^2

: j'étudie la série à termes positifs

\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)

Par transfert, on étudie $\sum_{k\geq 1} k^2 (1-p)^{k-1} p$ .

Étape 3 —

Je justifie la convergence (par d'Alembert, par comparaison à une série de Riemann ou géométrique, ou par domination

x^2 \leq Y^2

avec

Y

admettant un moment d'ordre 2).

Critère de d'Alembert : $\frac{(k+1)^2 (1-p)^k}{k^2 (1-p)^{k-1}}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^2 (1-p) \to 1-p < 1$ : la série converge.

Étape 4 —

Je conclus que

E(X^2)

existe, donc

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

est bien définie.

$E(X^2)$ existe, donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est définie.

$X$ admet une variance $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ .

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Comment montrer qu'une VAR admet une variance ?

En montrant l'existence de E(X2)E(X^2)E(X2) par domination ou calcul direct

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant l'existence de $E(X^2)$ par domination ou calcul direct